1. DISTRIBUCION MUESTRAL NORMAL

Los tiempos requeridos para que unos trabajadores terminen cierta labor, se distribuyen normalmente con media de 30 minutos y una desviación estándar de 9 minutos. Si de la planta de trabajadores se toma una muestra aleatoria de 25, encuentre la probabilidad de que la media del tiempo requerido para concluir la tarea en la muestral esté entre 28 y 33 minutos.

# Definir los parámetros del problema
media <- 30
desviacion <- 9
tamano_muestra <- 25
media_muestral_inferior <- 28
media_muestral_superior <- 33

# Calcular la media y la desviación estándar de la distribución muestral
media_muestral <- media
desviacion_muestral <- desviacion / sqrt(tamano_muestra)

# Calcular las z-score para las medias muestrales
z_inferior <- (media_muestral_inferior - media_muestral) / desviacion_muestral
z_superior <- (media_muestral_superior - media_muestral) / desviacion_muestral

# Calcular la probabilidad utilizando la distribución normal estándar
probabilidad_inferior <- pnorm(z_inferior)
probabilidad_superior <- pnorm(z_superior)

# Calcular la probabilidad total
probabilidad_total <- probabilidad_superior - probabilidad_inferior

# Mostrar los resultados
cat("La probabilidad de que la media del tiempo requerido para concluir la tarea en la muestra esté entre",
    media_muestral_inferior, "y", media_muestral_superior, "minutos es:",
    probabilidad_total)
## La probabilidad de que la media del tiempo requerido para concluir la tarea en la muestra esté entre 28 y 33 minutos es: 0.8189494

2. DISTRIBUCION T-STUDENT

Se toma una muestra aleatoria de seis automóviles y se registra el consumo en kilómetros por litro. Los datos son los siguientes: 18,6, 18,4, 19,2, 20,8, 19,4 y 20,5. La pregunta que queremos responder es: ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo de gasolina medio muestral de los automóviles de este modelo sea menor que 17,6 kilómetros por litro, suponiendo que la distribución de la población es normal con una media de 17 kilómetros por litro?

# Definir los parámetros del problema
media_poblacional <- 17
media_muestral <- 19.48
n <- 6
grados_libertad <- n - 1
s2 <- 0.96
x_barra <- 17.6

# Calcular el estadístico t
t <- (media_muestral - media_poblacional) / (sqrt(s2/n))

# Calcular la probabilidad utilizando la distribución t-Student
probabilidad <- pt(t, df = grados_libertad)

# Mostrar los resultados
cat("La probabilidad de que el consumo de gasolina medio muestral de los automóviles de este modelo sea menor que",
    x_barra, "kilómetros por litro es:", probabilidad)
## La probabilidad de que el consumo de gasolina medio muestral de los automóviles de este modelo sea menor que 17.6 kilómetros por litro es: 0.9992033

3. DISTRIBUCION MUESTRAL DE DIFERENCIA DE MEDIAS

Comparación de Impacto Económico entre dos Estrategias Monetarias: Supongamos que se está llevando a cabo un experimento económico en el cual se están comparando dos estrategias monetarias (A y B) con el objetivo de reducir el tiempo de respuesta de una determinada variable económica. El experimentador sabe que en las respectivas poblaciones los tiempos de respuestas están distribuidos normalmente. por ejemplo, el tiempo que tardan los consumidores en responder a cambios en las tasas de interés. Se administra la estrategia A a 30 empresas y la estrategia B a 40 empresas. Cuando se lleva a cabo el experimento de reducción de el tiempo de respuesta de una determinada estrategia económica el tiempo promedio de la estrategia A es 30,45 con una desviación típica de 5 milisegundos, la estrategia B son 24,9 y 6 milisegundos. Se desea determinar la probabilidad de que la diferencia entre el impacto promedio de las estrategias A y B en el tiempo de respuesta de las empresas sea menor o igual al observado en el experimento.

# Definir los parámetros del problema
media_A <- 30.45
desviacion_A <- 5
n_A <- 30

media_B <- 24.9
desviacion_B <- 6
n_B <- 40

# Calcular la diferencia de medias muestrales
diferencia_medias <- media_A - media_B

# Calcular la varianza de la diferencia de medias muestrales
varianza_diferencia_medias <- (desviacion_A^2 / n_A) + (desviacion_B^2 / n_B)

# Calcular la desviación estándar de la diferencia de medias muestrales
desviacion_estandar_diferencia <- sqrt(varianza_diferencia_medias)

# Calcular el estadístico z
z <- diferencia_medias / desviacion_estandar_diferencia

# Calcular la probabilidad utilizando la distribución normal estándar
probabilidad <- pnorm(z)

# Mostrar los resultados
cat("La probabilidad de que la diferencia entre el impacto promedio de las estrategias A y B en el tiempo de respuesta de las empresas sea menor o igual al observado en el experimento es:", probabilidad)
## La probabilidad de que la diferencia entre el impacto promedio de las estrategias A y B en el tiempo de respuesta de las empresas sea menor o igual al observado en el experimento es: 0.9999875

4. DISTRIBUCION DE VARIANZA MUESTRAL

. Calidad en la Producción de Componentes Electrónicos: En el ámbito económico, consideremos un escenario donde una empresa se especializa en la producción de componentes electrónicos esenciales para diversos sectores económicos. La resistencia en ohmios de estos componentes, cuando el proceso de producción funciona correctamente, sigue una distribución normal con desviación típica de 3.6 ohmios. La empresa está interesada en evaluar la consistencia en la resistencia de sus productos y decide tomar muestras aleatorias de 4 componentes para analizar la variabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor 27?

# Definir los parámetros del problema
desviacion_tipica <- 3.6
tamanio_muestra <- 4
varianza_deseada <- 27

# Calcular la estadística de prueba (chi-cuadrado)
estadistico_prueba <- ((tamanio_muestra - 1) * varianza_deseada) / (desviacion_tipica^2)

# Calcular la probabilidad utilizando la distribución chi-cuadrado
probabilidad <- pchisq(estadistico_prueba, df = tamanio_muestra - 1, lower.tail = FALSE)

# Mostrar los resultados
cat("La probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que", varianza_deseada, "es:", probabilidad)
## La probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 27 es: 0.1000608

5. DISTRIBUCION DE LA RAZON DE VARIANZAS MUESTRALES

Se supone que la varianza de las calificaciones de las pruebas de estado en cierto país es la misma para hombres y mujeres. Una muestra aleatoria de 21 hombres y una muestra aleatoria independiente de 19 mujeres dan varianzas de 876 y 400 respectivamente. Si las calificaciones para hombres y mujeres están normalmente distribuidas y tienen varianzas iguales, ¿cuál es la probabilidad de obtener de esas muestras resultados tan extremos o más extremos que estos?

# Definir los parámetros del problema
n_hombres <- 21
n_mujeres <- 19
varianza_hombres <- 876
varianza_mujeres <- 400

# Calcular el estadístico de prueba (F)
estadistico_prueba <- varianza_hombres / varianza_mujeres

# Calcular la probabilidad utilizando la distribución F
probabilidad <- pf(estadistico_prueba, df1 = n_hombres - 1, df2 = n_mujeres - 1, lower.tail = FALSE)

# Mostrar los resultados
cat("La probabilidad de obtener resultados tan extremos o más extremos que los dados en las muestras de hombres y mujeres es:", probabilidad)
## La probabilidad de obtener resultados tan extremos o más extremos que los dados en las muestras de hombres y mujeres es: 0.05006241

6. DISTRIBUCION DE LA PROPORCION MUESTRAL

Se toma una muestra de 250 casas de una población de edificios antiguos para estimar la proporción de casas de este tipo cuya instalación eléctrica resulta insegura. Supongamos que, de hecho, el 30% de todos los edificios de esta población tienen una instalación insegura. Hallar la probabilidad de que la proporción de edificios de la muestra con instalación insegura esté entre 0,25 y 0,35

# Parámetros
p_poblacional <- 0.30 # Proporción de casas con instalación insegura en la población
n <- 250 # Tamaño de la muestra

# Media y desviación estándar de la distribución muestral de la proporción
mu_proporcion <- p_poblacional
sigma_proporcion <- sqrt((p_poblacional * (1 - p_poblacional)) / n)

# Probabilidad de que la proporción muestral esté entre 0.25 y 0.35
probabilidad <- pnorm(0.35, mean = mu_proporcion, sd = sigma_proporcion) - pnorm(0.25, mean = mu_proporcion, sd = sigma_proporcion)
probabilidad
## [1] 0.9155021