DISTRIBUCIÓN NORMAL

  1. Una empresa emplea 1500 personas. La cantidad promedio gastada, durante un Año determinado, en servicios médicos personales por empleado fue de 2.575 dólares y la desviación típica de 525 dólares. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 empleados (seleccionados sin reemplazo) arroje una media comprendida entre 2500 y 2700 dólares?
probabilidad <- pnorm(2500, mean = 2575, sd = 525, lower.tail = TRUE) - pnorm(2700, mean = 2575, sd = 525, lower.tail = FALSE)

print(paste(" La probabilidad de que arroje una media comprendida entre 2500 y 2700 es de", probabilidad))
## [1] " La probabilidad de que arroje una media comprendida entre 2500 y 2700 es de 0.0372978891818153"

DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES

  1. Se identificaron dos poblaciones de alumnos de último año de un colegio. La variable de interés en la investigación consistía en los puntajes obtenidos en una prueba de rendimiento en estadística que hicieron los estudiantes de las dos poblaciones. Los investigadores suponían que Los puntaje de las dos poblaciones estaban distribuidos normalmente con las siguientes medias y varianzas: µ1=50, σ2 uno es 40, µ2=40, σ2 dos es 60. Una muestra aleatoria de tamañano n1=10 se saca de la población1 y una de tamaño n2=12 de población 2.¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre las medias muestrales este entre 5 y 15?
n_A <- 10
media_A <- 50
desviacion_A <- sqrt(40)

n_B <- 12
media_B <- 40
desviacion_B <- sqrt(60)

#Media y desviación estándar de la diferencia de medias
media_dif <- media_A - media_B 
desv_dif <- sqrt(desviacion_A^2 / n_A + desviacion_B^2 / n_B)

#Z
Z_5 <- (5 - media_dif) / desv_dif
Z_15 <- (15 - media_dif) / desv_dif

#Probabilidad 
probabilidad <- pnorm(Z_15) - pnorm(Z_5) 

print(paste(" La Probabilidad entre las medias muestrales este entre 5 y 15 es de",probabilidad))
## [1] " La Probabilidad entre las medias muestrales este entre 5 y 15 es de 0.904419295454371"

DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL

  1. Se desea estudiar una muestra de 20 personas para saber la proporción de ellas que tienen más de 40 años. Sabiendo que la proporción en la población es del 40%, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea menor del 50%?
p1 <- 0.16
p2 <- 0.11
pp <- 0.10
n1 <- 200
n2 <- 225
dif_p <- 0.05

#Calculo de Z
raizp <- sqrt((p1*(1-p1)/n1)+(p2*(1-p2)/n2))
z <- (pp-dif_p)/raizp

#Probabilidad de Z
prob <- pnorm(z)

print(paste("La probabilidad de que sea mayor o igual a 10% es:",prob))
## [1] "La probabilidad de que sea mayor o igual a 10% es: 0.933542731821871"

DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES

  1. Se cree que 0,16 de las industrias de un área metropolitana I son textiles. Se cree además que en un área metropolitana II esta proporción es de 0,11. Si estas cifras son exactas, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple de 200 industrias del área I y una muestra aleatoria simple independiente de 225 industrias del área II arrojen una diferencia entre las proporciones muestrales mayor o igual que 0,10?
población_1 <- 0.16
población_2 <- 0.11
n_1 <- 200
n_2 <- 225

#Media y desviación estándar de la diferencia de proporciones muestrales

n_diferencial <- población_1 - población_2 
desv_dif <- sqrt ((población_1*(1-población_1))/n_1 + (población_2*(1-población_2))/n_2)

#Z 
z <- (0.10 - n_diferencial) / desv_dif

#Probabilidad 
probabilidad <- 1 - pnorm(z)

print(paste("La probabilidad de que una muestra aleatoria simple de 200 industrias del área I y una muestra aleatoria simple independiente de 225 industrias del área II arrojen una diferencia entre las proporciones muestrales mayor o igual que 0,10 es de", probabilidad))
## [1] "La probabilidad de que una muestra aleatoria simple de 200 industrias del área I y una muestra aleatoria simple independiente de 225 industrias del área II arrojen una diferencia entre las proporciones muestrales mayor o igual que 0,10 es de 0.0664572681781295"

DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL

  1. Las rentabilidades mensuales de cierto tipo de acciones son independientes unas de otras y siguen una distribución normal con desviación típica de 1,7. Se toma una muestra de 12 meses. Hallar la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea:
  1. menor que 2,5
  2. mayor que 1.
n <- 12 
desviacion_normal <- 1.7
desviacion_A <- 2.5
desviacion_B <- 1

#Cálculo de los valores de chi^2

chi2_A <- (n - 1) * (desviacion_A^2)/ (desviacion_normal^2)
chi2_B <- (n - 1) * (desviacion_B^2) / (desviacion_normal^2)

#Probabilidad_A
probabilidad_A <- pchisq(chi2_A, df = n - 1, lower.tail = FALSE)

#Probabilidad_LB 
probabilidad_B <- 1 - pchisq(chi2_B, df = n - 1)

print(paste ("la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea menor que 2,5 es", probabilidad_A))
## [1] "la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea menor que 2,5 es 0.0136530238901565"
print(paste ("la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea mayor que 1 es", probabilidad_B))
## [1] "la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea mayor que 1 es 0.975246169132498"

DISTRIBUCIÓN DE LA RAZÓN DE VARIANZAS MUESTRALES

  1. Se supone que la varianza de las calificaciones de las pruebas de estado en cierto país es la misma para hombres y mujeres. Una muestra aleatoria de 21 hombres y una muestra aleatoria independiente de 19 mujeres dan varianzas de 876 y 400 respectivamente. Si las calificaciones para hombres y mujeres están normalmente distribuidas y tienen varianzasiguales, ¿cuál es la probabilidad de obtener de esas muestras resultados tan extremos o más extremos que estos?
n_1 <- 21 #Tamaño de muestra de hombres
n_2 <- 19 #Tamaño de muestra de mujeres
desviacion_A <- 876 #Muestra de hombres 
desviacion_B <- 400 #Muestra de mujer 

#Razón de varianzas 
razon_varianzas <- (desviacion_A^2)/(desviacion_B^2)

#Grados de libertad F
df1 <- n_1 - 1
df2 <- n_2 - 1

#Probabilidad 
probabilidad <- pf(F,razon_varianzas, df1, df2, lower.tail = FALSE)*2

print(paste("La probabilidad de obtener de esas muestras resultados tan extremos o más extremos que estos es de", probabilidad))
## [1] "La probabilidad de obtener de esas muestras resultados tan extremos o más extremos que estos es de 2"