Taller de Distribución Binomial Negativa en R

Introducción

La distribución binomial negativa, también conocida como distribución Pascal, es un modelo de probabilidad discreta que describe el número de ensayos independientes y idénticamente distribuidos (IID) necesarios para obtener un número fijo de éxitos en una secuencia de ensayos. En este taller, exploraremos cómo aplicar la distribución binomial negativa en R para resolver problemas prácticos.

Teoría

La distribución binomial negativa se define por dos parámetros: \(r\), el número de éxitos deseado, y \(p\), la probabilidad de éxito en cada ensayo. La función de probabilidad de masa (PMF) de la distribución binomial negativa es:

\[P(X = k) = \binom{k + r - 1}{k} \cdot p^r \cdot (1-p)^k\]

donde \(X\) es la variable aleatoria que representa el número de ensayos necesarios para obtener \(r\) éxitos, y \(k\) es el número de ensayos adicionales requeridos después de los \(r\) éxitos.

Ejemplo

Supongamos que estamos jugando a los dardos y queremos saber cuántos lanzamientos necesitaremos para acertar en el blanco \(5\) veces. Supongamos que la probabilidad de acertar en el blanco en cada lanzamiento es de \(0.3\). Utilizaremos la distribución binomial negativa para modelar este problema.

# Parámetros
r <- 5  # Número de éxitos deseado
p <- 0.3  # Probabilidad de éxito en cada ensayo

# Generación de datos
lanzamientos <- rnbinom(1000, size = r, prob = p)

# Visualización de resultados
hist(lanzamientos, breaks = seq(0, max(lanzamientos), by = 1), main = "Histograma de Lanzamientos", xlab = "Número de Lanzamientos", ylab = "Frecuencia", col = "skyblue", border = "white")

Ejercicios Prácticos

  1. Escribe una función en R para calcular la probabilidad P(X=k) para la distribución binomial negativa.

  2. Utiliza la función que escribiste en el ejercicio anterior para calcular la probabilidad de necesitar exactamente 7 lanzamientos para obtener r=3 éxitos con una probabilidad de éxito del p=0.4.

  3. Genera 1000 muestras de la distribución binomial negativa con r=3 y p=0.5 y calcula su media y desviación estándar.

  4. Grafica la función de masa de probabilidad (PMF) para la distribución binomial negativa con r=2 y p=0.6.

  5. Calcula la probabilidad de necesitar al menos 10 lanzamientos para obtener 4 éxitos con una probabilidad de éxito del 0.2.

  6. Genera 500 muestras de la distribución binomial negativa con r=4 y p=0.7 y calcula su mediana y cuartiles.

  7. Grafica la función de masa de probabilidad (PMF) para la distribución binomial negativa con r=3 y p=0.3.