Estadística y Probabilidad

Clase 2.1
Técnicas de conteo: permutaciones combinaciones

Msc. Roberto Trespalacios

Universidad Tecnológica de Bolivar

2024-01-29

Tabla de contenido

  • Técnicas de conteo: permutaciones combinaciones
    • Princio de adición y multiplicación
    • Factorial
    • Permutaciones
      • sin repetición
      • con repetición
      • circulares
    • Combinaciones
      • sin repetición
      • con repetición

Técnicas de conteo

Las técnicas de conteo son estrategias matemáticas usadas en probabilidad y estadística que permiten determinar el número total de resultados que pueden haber a partir de hacer combinaciones dentro de un conjunto o conjuntos de objetos.

En lo que respecta a técnicas de conteo, tenemos dos principios importantes:

Principios fundamentales de conteo

Principio de adición

Si un evento A ocurre de n maneras y otro evento B ocurre de m maneras, entonces:

  • El número de maneras en que puede ocurrir el evento A o el evento B es: \(n+m\).

Un evento ocurre de una forma más no de ambas formas a la vez.

Principio de multiplicación

Si un evento A ocurre de n maneras diferentes seguido de otro evento B que ocurre de m maneras distintas, entonces:

  • El Número de maneras en que puede ocurrir el evento A y B es: \(n \times m\)

Los eventos ocurren uno a continuación de otro.

Ejemplo 1

  1. Una persona desea realizar un viaje de Cartagena a Bogot;a. Al investigar los itinerarios y empresas de transporte, le indican que hay 2 flotas si utiliza bus y 3 aerolineas si utiliza avión. ¿Cuántas rutas hay disponibles para realizar el viaje?.

Solución

Aplicamos el principio de adición, es decir: hay 2 flotas para viajar buses y 3 para viajar en avión, entonces habrá \(2 + 3 = 5\) posibilidades diferentes para realizar el viaje.

Ejemplo 2

  1. Juan tiene tres polos de colores diferentes y tres pantalones de colores diferentes. ¿De cuantas formas podría vestirse?

Solunción

Aplicamos el principio de multiplicación, es decir: hay 3 polos de colores diferentes y 2 pantalones de colores diferentes, entonces habrá \(2 \times 3 = 6\) posibilidades diferentes para vestirse.

Ejemplos

  1. Un individuo va a comer en un restaurante y al ver el menú observa que hay 3 guisos de carne de res, 4 de aves, 2 de verduras y uno de pescado. ¿De cuántas formas puede ordenar su guiso?
  2. De Estados Unidos a España hay 12 aerolineas diferentes. ¿De cuántas maneras se puede viajar de Estados Unidos a España y regresar en una aerolinea diferente?.
  3. ¿Cuántas parejas de baile diferentes pueden formarse con 5 niños y 3 niñas?

Factorial de un número (\(n!\))

El factorial de \(n\) o en simbolos \(n!\), se define como el producto de todos los enteros menores o iguales a \(n\); esto es,

\[n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Ejemplos

  • El factorial de 4 es: \(4!=4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24\)
  • El factorial de 7 es: \(7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=5040\)
  • El factorial de 1 es: \(1!=1\)
  • Por definición, 0!=1.

Nota:

El uno al final no es necesario escribirlo, ya que es el módulo de la mutiplicación.

Ejemplo (Mesa de honor)

Se requiere acomodar a 8 personas en una mesa de honor y se le solicita que haga un listado de las diferentes formas de ordenar a las personas. Antes de aceptar la tarea decide investigar cuántas formas diferentes existen.

Solución

Se aplica la regla factorial. Para el primer puesto hay 8 opciones, para el segundo, 7, para el tercero 6, y así sucesivamente. Entonces hay 8! Formas de acomodar a las personas: 40320. (No sería sencillo tratar de hacer la lista completa). Es decir,

\[8!=8\cdot 7\cdot 6\cdots \cdot 2 \cdot 1=40320\]

Permutaciones sin repetición

Llamamos permutación, cuando tenemos n objetos y disponemos r de ellos \((r \leqslant n)\) en un orden determinado, llamamos a esta disposició una permutación de n objetos tomados de r en r y lo denotamos por \(P_{r}^{n}\), donde

\[P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}\]

Permutación

Ejemplo: Si analizamos las letras de las palabras con y noc observamos que constan de las mismas letras, sin embargo son vocablos diferentes. Encuentre las permutaciones tomadas de 2 en 2.

Solución: Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: cn, nc, co, oc, no y on. Utilizando la fórmula para permutaciones con \(n=3\) y \(r=2\), así, \(P_{2}^{3}=\frac{3!}{(3-2)!}=\frac{3!}{1!}=\frac{3!}{1}=3!=6\)

Ejemplo 8

Sea el conjunto \(\{a, b, c, d\}\), encuentre las posibles formas que se pueden ordenar esos cuatro elementos.

abcd bacd cabd dabc
abdc badc cadb dacb
acbd bcad cbad dbac
acdb bcda cbda dbca
adab bdac cdab dcab
adba bdca cdba dcba

Utilizando la fórmula para permutaciones con \(n=4\) y \(r=4\), tenemos que:

\[P_{4}^{4}=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{4!}{0!}=\frac{4!}{1}=4!=24\]

Ejemplo 9

Dado el conjunto de números \(\{2, 5, 3, 6, 7\}\), Obtener:

  1. El número de permutaciones de los elementos del conjunto, tomados de 3 en 3.
  2. El número de permutaciones de los elementos del conjunto, tomados de 4 en 4; sabiendo que es un número de 3 cifras bajo los elementos del inciso a. Asuma que no hay repeticiones.

Solución

Utilizando la fórmula para permutaciones con \(n=5\) y \(r=3\), tenemos que:

  1. Vemos que \(n=60\) y \(r=4\), por lo tanto,

\[P_{3}^{5}=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1}=60\]

  1. Como en el inciso a. resultó un conjunto de 60 permutaciones, y ahora nos piden las permutaciones de ese conjunto, pero tomadas de 4 en 4, entonces tenemos que: \(n=60\) y \(r=4\), así,

\[P_{4}^{60}=\frac{60!}{(60-4)!}=\frac{60!}{56!}=60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57\]

Ejercicios

  1. ¿De cuántas maneras pueden sentarse cinco alumnos en un salón de clase que tiene ocho bancos individuales?
  2. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra JUAN?
    • ¿Cuántos de estos ordenamientos distintos empezarán con la N?
    • ¿Cuántos de estos ordenamientos distintos empezarán con una vocal?

Permutaciones con repetición

Se llaman permutaciones con repetición de \(n\) elementos, donde el primer elemento se repite \(r_1\) veces, el segundo \(r_2\) veces y así sucesivamente el último se repite \(r_k\) veces, a todos los ordenamientos que se puedan realizar con todos ellos y se calcula:

\[P_{(r_1,r_2,r_3,\dots,r_k)}^{n} =\frac{n!}{r_1!\cdot r_2! \cdot r_3! \dots r_k!}\]

Ejemplo 10

Cuántas números de cuatro dígitos se pueden formar con los números 6, 6, 9, 9.

Solución

6699, 6969, 6996, 9669, 9696, 9966. Hay 6 maneras de permutar las cifras 6 y 9.

Con la fórmula, tenemos que el 6 se repite dos veces, así \(r_1=2\) y el 9 se repite también dos veces; es decir \(r_2=2\) y el total es \(n=4\), entonces

\[P_{(2,2)}^{4} =\frac{4!}{2!\cdot 2!} = \frac{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = 6\]

Permutaciones circulares

Para acomodar \(n\) personas en una mesa circular de \(n\) asientos hacemos que una de ellas ocupe un lugar fijo y las personas restantes deben permutarse en los \(n-1\) asientos. Es decir,

\[P^{n-1}= (n-1)!\]

Ejemplo 11

¿De cuántas maneras se pueden sentar cuatro personas en una mesa circular?

Solución

Vemos que da la impresión de que son diferentes los ordenamientos, pero si los leemos del rojo al negro, en sentido contrario a las manecillas de reloj, obervamos que son iguales.

Es decir, \((4-1)! = 3! = 6\).

  • Las restantes 24 - 6 = 18 permutaciones son repeticiones de alguno de los otros posibles cuatro ordenamientos. (¡Adelante!, verificalo).

Ejercicios

  1. ¿De cuantas formas pueden sentarse 7 estudiantes en una mesa circular, si dos de los estudiantes son amigos y quieren estar juntos?
  2. ¿De cuántas maneras pueden sentarse cuatro parejas en una mesa redonda si los hombres y las mujeres quieren sentarse alternativamente?

Solución 2

Enfatizamos que la primera persona puede sentarse en cualquier lugar sin afectar la permutación. Por lo que sólo hay cuatro opción para el primer lugar.

  • Supongamos que un hombre se sentó primero.
  • La silla junto a el debe pertenecer a una mujer y hay 2 opciones.
  • La siguiente silla pertenece a un hombre, por lo que hay una opción.
  • Última silla pertenece a la última persona, que en este caso es un hombre.

A continuación enumeramos las opciones.

\(4\cdot2\cdot1\cdot1 = 8\)

Combinaciones

Una combinación es el ordenamiento de un conjunto o colección de objetos en el que no importa el orden.

Ejemplo 12

Si \(A=\{a, b, c, d, e\}\), ¿cuántas combinaciones de dos letras se pueden obtener?

Solución

Esto equivale a preguntarse. ¿cuántos subconjuntos de dos elementos tiene el conjunto A?, esto es

\(\{a, b\}, \{a, c\}, \{a, d\}, \{a, e\}, \{b, c\}, \{b, d\}, \{b, e\}, \{c, d\}, \{c, e\}, \{d, e\}\)

Diez es el número de combinaciones de 2 letras de las 5 letras del conjunto A.

Combinaciones sin repetición

Cuando se toman \(r\) elementos del conjunto \(n\), el principio de combinación es dado por la siguiente fórmula:

\[C_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}\]

Combinación

Ejemplos 13: si \(A=\{a, b, c, d, e\}\), ¿cuántas combinaciones de dos letras se pueden obtener?.

Solución: para el ejemplo, \(n=5\) y \(r=2\), por lo tanto tenemos que:

\[C_{2}^{5}=\frac{5!}{(5-2)!\cdot 2!}=\frac{5!}{3! \cdot 2!}=\frac{5 \cdot 4\cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1}=10\]

Ejemplo 14

¿Cuántas ternas para la candidatura de director pueden formarse de un grupo de 15 profesores?

Solución

Usando la fórmula de combinatoria, con \(n=15\) y \(r=3\), tenenemos que:

\[C_{3}^{15}=\frac{15!}{(15-3)!\cdot 3!}=\frac{15!}{12!\cdot 3!}=\frac{15 \cdot 14\cdot 13 \cdot 12!}{12!\cdot 3\cdot 2 \cdot 1}=455\]

Por lo tanto, se puede formar 455 ternas.

Ejemplo 15

¿Cuántos equipos de voleibol se pueden formar a partir de 9 jugadores?

Solución

Se requieren 6 jugadores para formar un equipo de voleibol, por lo que, en este caso se tiene que \(n=9\) y \(r=6\); así que:

\[C_{6}^{9}=\frac{9!}{(9-6)!\cdot 6!}=\frac{9!}{3!\cdot 6!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{3!\cdot 6!}=84\]

Combinaciones con repetición

El número de formas en que se puede extraer un multiconjunto con \(r\) elementos de un conjunto con \(n\) elementos se denota por

\[CR_{r}^{n}=\frac{(n+r-1)!}{n! \cdot (r-1)!}\]

En las combinaciones con repetición no importa el orden pero sí se pueden repetir.

Ejemplo 16

De cuántas formas podemos escoger 2 elementos del conjunto {a, b, c}, si podemos repetir los elementos en las combinaciones.

Solución

Son seis posibilidades: aa, bb, cc, ab, ac, bc

Así,

\[CR_{2}^{3}=\frac{(3+2-1)!}{(3-1)! \cdot 2!} = \frac{4!}{2!\cdots 2!} = 6\]

Ejemplo 17

¿De cuántas maneras se puede repartir 10 caramelos a 4 niños?

Solución

Queremos dividir 10 objetos (los caramelos) en 4 grupos (Alonso, Berta, Carla y Daniel). Para ello colocamos 10 objetos en línea e insertamos 3 separadores para dividirlos en 4 secciones. Por ejemplo, si representamos los caramelos con asteriscos y los separadores con barras(separar los niños), entonces algunas posibilidades serían:

  • AABBBCCDDD: */****/**/***
  • AABBBBBDDD: **/*****//***

Y cualquier serie de 10 asteriscos separados por 3 barras (permitiendo grupos vacíos) corresponde a una forma de repartir y a su vez, a un multiconjunto:

  • ****/***/**/*: AAAABBBCCD (4 caramelos para Alonso, 3 para Berta, 2 para Carla y 1 para Daniel)
  • *****/*****//: AAAAABBBBB (5 caramelos para Alonso y 5 para Berta, cero para Carla y Daniel)

Solución

De esta forma, el número de formas de repartir corresponde al número de series de 10 asteriscos y 3 barras. Pero esto es precisamente el número de formas de elegir 3 objetos de un conjunto con 13 (de las 13 posiciones se están escogiendo cuales 3 serán barras) y por tanto el resultado es el coeficiente binomial

\(C^{13}_3 = \frac{13!}{(13-3)!\cdot 3!} = 286\)

Diferencia entre permutación y combinación

La diferencia principal entre permutación y combinación es el orden de los objetos o elementos.

  • Para el caso de las permutaciones \(\Rightarrow\) SI importa el orden.
  • Para el caso de las combinaciones \(\Rightarrow\) NO importa el orden.

Permutaciones y combinaciones

Ejercicios

  1. En una prueba de atletismo en la que participan 8 atletas se pueden clasificar sólo 3 para la final. ¿Cuántos grupos distintos de finalistas se pueden formar?
  2. ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer con dos elementos tomados del conjunto \(C=\{a,b,c,d,e,f\}\)?
  3. ¿Cuántos comités de 1 presidente y 3 vocales se pueden formar a partir de un grupo de 8 personas, las cuales pueden ocupar cualquier puesto?
  4. Una familia tiene 3 niños y 2 niñas. ¿De cuántas formas pueden sentarse en una fila? ¿Cuántas formas hay si los niños desean sentarse juntos y las niñas también? ¿De cuantas formas pueden sentarse si solo las niñas están juntas?
  5. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden formar con los números 2, 2, 5, 5, 5, 9?
  6. Si se sabe que se lanza una moneda 10 veces y se obtiene el mismo número de caras que de cruces, ¿cuántas formas posibles y diferentes hay de que haya ocurrido esto?
  7. ¿De cuántas formas podemos repartir 5 regalos entre 8 personas distintas?