Problema 1

Estimación del valor de π

La siguiente figura sugiere como estimar el valor de π con una simulación. En la figura, un circuito con un área igual a π/4, está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria n puntos dentro del cuadrado . La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la fracción del área del cuadrado que abarca a este, la cual es π/4. Por tanto, se puede estimar el valor de π/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, para obtener la estimación de π/4. De este último resultado se encontrar una aproximación para el valor de π.

Solución

Iniciamos definiendo n coordenadas tanto para el eje x como parandefined el y, en este caso se define una cantidad de 1000000 para cada una, con el propósito de obtener una estimación muy cercana al valor verdadero de pi.

n = 1000000

Posteriormente construimos los puntos de forma simulada utilizando la función runif para las n coordenadas dentro del rango de 0 y 1.

x=runif(n,0,1)
y=runif(n,0,1)

Calculamos la distancia entre los puntos y el centro para determinar si el punto se encuentra dentro del circulo cuando la distancia sea menor a 0.25, luego contamos cuántos puntos cumplieron esta condición.

distancia = (x -0.5)^2 + (y-0.5)^2
puntosMenores = as.numeric(distancia<=0.25)
sumatoria = sum(puntosMenores)
sumatoria
## [1] 785469

Calculamos la proporción de estos puntos con respecto al total de la muestra.

proporcion = sumatoria / n
proporcion
## [1] 0.785469

Este valor corresponde al área del circulo dentro del cuadrado y corresponde a π/4, por lo tanto podemos despejar pi al multiplicar la proporción calculada por 4 y obtener una aproximación.

piAprox = proporcion * 4
piAprox
## [1] 3.141876

Conclusiones

  • Utilizando un número relativamente pequeño de puntos aleatorios (en este caso, 1000000), hemos logrado una aproximación muy cercana al valor real de π, que es aproximadamente 3.14159, obteniendo un error aproximado del 0.056%.

  • En este experimento se pudo evidenciar que a medida que el número de puntos aleatorios (n) aumenta, la estimación del valor de π debería acercarse cada vez más a su valor real.

  • La metodología utilizada para estimar π es notablemente simple y se basa únicamente en la generación de números aleatorios y la geometría básica. Esto demuestra la flexibilidad de los métodos de simulación.