Propiedades de los estimadores

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SOLUCION

A- Funcion para el calculo de los 4 estimadores.

Creamos una funcion la cual contendra las ecuaciones de los 4 estimadores.

estimadores <- function(X) {
  t1 <- (X[,1] + X[,2]) / 6 + (X[,3] + X[,4]) / 3 
  t2 <- (X[,1] + 2 * X[,2] + 3 * X[,3] + 4 * X[,4] ) / 5 
  t3 <- (X[,1] + X[,2] + X[,3] + X[,4]) / 4 
  t4 <- (apply(X, 1, min) + apply(X, 1, max)) / 2 
  
  return((setNames(data.frame(t1, t2, t3, t4), c("t1", "t2", "t3", "t4"))))
}

B- Funcion para el calculo de las propiedades de los estimadores (sesgo,eficiencia, consistencia).

Creamos una funcion para calcular el sesgo.

# Función para calcular el sesgo
calcular_sesgo <- function(estimaciones, theta) {
  apply(estimaciones, 2, mean) - theta
}

Creamos una funcion para calcular el eficiencia.

# Función para calcular la eficiencia
calcular_eficiencia <- function(estimaciones, theta) {
  varianzas <- apply(estimaciones, 2, var)
  (theta^2) / varianzas
}

Creamos una funcion para calcular el consistencia.

# Función para calcular la consistencia
calcular_consistencia <- function(estimaciones, theta) {
  apply(estimaciones, 2, function(est) abs(mean(est) - theta) / theta)
}

C- Supononemos parámetro theta=10.

theta <- 10

D- Analsis a muestras de n=20, 50, 100 y 1000

Para n=20

n_muestras <- 20

# Generar los datos
set.seed(123)
X <- as.data.frame(matrix(rexp(4 * n_muestras, rate = 1 / theta), ncol = 4))
colnames(X) <- c("X1", "X2", "X3", "X4")

# Calcular los estimadores
R_ESTIMADORES <- estimadores(X)

# Crear los boxplots y agregar la línea roja para theta
boxplot(R_ESTIMADORES, las = 1, main = "Estimaciones de Theta n= 20", ylab = "Estimaciones")
abline(h = theta, col = "red")

# Calcular el sesgo
sesgo <- calcular_sesgo(R_ESTIMADORES, theta)

# Calcular la eficiencia
eficiencia <- calcular_eficiencia(R_ESTIMADORES, theta)

# Calcular la consistencia
consistencia <- calcular_consistencia(R_ESTIMADORES, theta)

propiedades de insesgadez, eficiencia y consistencia para cada estimador

propiedades_est <- data.frame(Sesgo = sesgo, Eficiencia = eficiencia, Consistencia = consistencia)
print(propiedades_est)
##         Sesgo Eficiencia Consistencia
## t1  0.3542438   3.674670   0.03542438
## t2 10.4395878   1.140411   1.04395878
## t3  0.1712889   5.035293   0.01712889
## t4  2.0078784   1.920393   0.20078784

Para n=50

n_muestras <- 50

# Generar los datos
set.seed(123)
X <- as.data.frame(matrix(rexp(4 * n_muestras, rate = 1 / theta), ncol = 4))
colnames(X) <- c("X1", "X2", "X3", "X4")

# Calcular los estimadores
R_ESTIMADORES <- estimadores(X)

# Crear los boxplots y agregar la línea roja para theta
boxplot(R_ESTIMADORES, las = 1, main = "Estimaciones de Theta n= 50", ylab = "Estimaciones")
abline(h = theta, col = "red")

# Calcular el sesgo
sesgo <- calcular_sesgo(R_ESTIMADORES, theta)

# Calcular la eficiencia
eficiencia <- calcular_eficiencia(R_ESTIMADORES, theta)

# Calcular la consistencia
consistencia <- calcular_consistencia(R_ESTIMADORES, theta)

propiedades de insesgadez, eficiencia y consistencia para cada estimador

propiedades_est <- data.frame(Sesgo = sesgo, Eficiencia = eficiencia, Consistencia = consistencia)
print(propiedades_est)
##          Sesgo Eficiencia Consistencia
## t1 -0.05595314  3.7328854  0.005595314
## t2  9.79019331  0.9329887  0.979019331
## t3  0.07233192  3.7178585  0.007233192
## t4  1.57624105  2.0279815  0.157624105

Para n=100

n_muestras <- 100

# Generar los datos
set.seed(123)
X <- as.data.frame(matrix(rexp(4 * n_muestras, rate = 1 / theta), ncol = 4))
colnames(X) <- c("X1", "X2", "X3", "X4")

# Calcular los estimadores
R_ESTIMADORES <- estimadores(X)

# Crear los boxplots y agregar la línea roja para theta
boxplot(R_ESTIMADORES, las = 1, main = "Estimaciones de Theta n= 100", ylab = "Estimaciones")
abline(h = theta, col = "red")

# Calcular el sesgo
sesgo <- calcular_sesgo(R_ESTIMADORES, theta)

# Calcular la eficiencia
eficiencia <- calcular_eficiencia(R_ESTIMADORES, theta)

# Calcular la consistencia
consistencia <- calcular_consistencia(R_ESTIMADORES, theta)

propiedades de insesgadez, eficiencia y consistencia para cada estimador

propiedades_est <- data.frame(Sesgo = sesgo, Eficiencia = eficiencia, Consistencia = consistencia)
print(propiedades_est)
##          Sesgo Eficiencia Consistencia
## t1 -0.11648946   4.825682  0.011648946
## t2  9.56648445   1.064719  0.956648445
## t3 -0.06928411   5.054968  0.006928411
## t4  1.46783977   3.038236  0.146783977

Para n=1000

n_muestras <- 1000

# Generar los datos
set.seed(123)
X <- as.data.frame(matrix(rexp(4 * n_muestras, rate = 1 / theta), ncol = 4))
colnames(X) <- c("X1", "X2", "X3", "X4")

# Calcular los estimadores
R_ESTIMADORES <- estimadores(X)

# Crear los boxplots y agregar la línea roja para theta
boxplot(R_ESTIMADORES, las = 1, main = "Estimaciones de Theta n= 1000", ylab = "Estimaciones")
abline(h = theta, col = "red")

# Calcular el sesgo
sesgo <- calcular_sesgo(R_ESTIMADORES, theta)

# Calcular la eficiencia
eficiencia <- calcular_eficiencia(R_ESTIMADORES, theta)

# Calcular la consistencia
consistencia <- calcular_consistencia(R_ESTIMADORES, theta)

propiedades de insesgadez, eficiencia y consistencia para cada estimador

propiedades_est <- data.frame(Sesgo = sesgo, Eficiencia = eficiencia, Consistencia = consistencia)
print(propiedades_est)
##            Sesgo Eficiencia Consistencia
## t1 -0.0395901125   3.493933 3.959011e-03
## t2  9.7970188170   0.849868 9.797019e-01
## t3 -0.0002485299   3.848450 2.485299e-05
## t4  1.6204052694   2.477210 1.620405e-01

CONCLUSIONES

Los datos proporcionados muestran métricas de Sesgo, Eficiencia y Consistencia para cuatro tipos de pruebas (t1, t2, t3 y t4) en diferentes tamaños de muestra (n = 20, 50, 100 y 1000). A través de estos resultados, se observa que, en general, el Sesgo tiende a estar cercano a cero, indicando que las estimaciones están centradas en el valor verdadero del parámetro. La Eficiencia varía entre las pruebas y tamaños de muestra, siendo más baja para t2 en comparación con otras pruebas. Sin embargo, la Consistencia muestra valores bajos en general, lo que sugiere que las estimaciones son consistentes a medida que aumenta el tamaño de la muestra, aunque pueden variar según la prueba específica. Estos hallazgos proporcionan una visión detallada del rendimiento de cada prueba y su capacidad para proporcionar estimaciones precisas y estables del parámetro en diferentes contextos y tamaños de muestra.