Problema 4

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X*1 a la caja y se extrae el valor X*2 , regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X*1, X*2, X*2, X*nconformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(\bar{X}^*_i\), obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P*2.5 y P*97.5 . Existen dos métodos para estimarlo:

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

Desarrollo

Se genera 1000 muestras bootstrap a partir de la muestra original de 7 datos.

# Muestra original de datos
muestra_original <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)

# Número de muestras bootstrap deseadas
numero_bootstrap <- 1000

# Creación de matriz para almacenar las muestras bootstrap
muestras_bootstrap <- matrix(nrow = numero_bootstrap, ncol = length(muestra_original))

# Generación de las muestras bootstrap
for (i in 1:numero_bootstrap) {
  muestra_bootstrap <- sample(muestra_original, size = length(muestra_original), replace = TRUE)
  muestras_bootstrap[i, ] <- muestra_bootstrap
}
head(muestras_bootstrap)
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
## [1,] 4.97 6.49 4.56 6.24 4.56 6.49 6.49
## [2,] 4.97 6.24 6.49 4.97 4.34 4.45 4.97
## [3,] 4.97 4.45 6.24 4.34 6.24 4.34 4.34
## [4,] 4.97 7.69 4.56 4.45 4.56 4.45 7.69
## [5,] 4.97 4.56 6.49 4.34 6.24 4.34 4.45
## [6,] 4.97 7.69 7.69 7.69 4.97 4.56 6.49

Calculamos la media en cada muestra bootstrap creada anteriormente.

medias_bootstrap <- apply(muestras_bootstrap, 1, mean)

Ordenamos las medias calculadas en el paso anterior de menor a mayor, con el objetivo de encontrar los percentiles necesarios para construir el intervalo de confianza.

medias_bootstrap_ordenadas <- sort(medias_bootstrap)

Calculamos los dos percentiles necesarios para el intervalo de confianza de 95%: El percentil 2.5% y el percentil 97.5%.

# Encontrando el percentil 2.5% más bajo
percentil_2_5 <- quantile(medias_bootstrap_ordenadas, 0.025)

# Encontrando el percentil 97.5% más alto
percentil_97_5 <- quantile(medias_bootstrap_ordenadas, 0.975)

Aplicando el método de confianza 1 encontramos que Para un intervalo de confianza del 95%, el valor de la media del consumo de gasolina en millas por galón estaría contenido entre:

percentil_2_5
##     2.5% 
## 4.725714

y

percentil_97_5
##    97.5% 
## 6.424286

Aplicando el método de confianza 2 encontramos que Para un intervalo de confianza del 95%, el valor de la media del consumo de gasolina en millas por galón estaría contenido entre:

nuevo_limite_inferior_ajustado <- 2 * mean(medias_bootstrap_ordenadas) - percentil_97_5
nuevo_limite_superior_ajustado <- 2 * mean(medias_bootstrap_ordenadas) - percentil_2_5
nuevo_limite_inferior_ajustado
##    97.5% 
## 4.627346

y

nuevo_limite_superior_ajustado
##     2.5% 
## 6.325917

Observamos que los valores estimados para determinar el intervalo de confianza en ambos métodos es similar, lo cual se puede evidenciar en el siguiente histograma donde el intervalo de confianza establecido para el método 2 se encuentra sesgado hacia la izquierda respecto al método 1. No obstante, la distribución de los datos presentada sigue una distribución normal insesgada, en la cual, ambos intervalos de confianza abarcan la mayoria de los datos.

hist(medias_bootstrap_ordenadas, main="Histograma de valores medios", 
     xlab = "Valores medios", 
     ylab = "Frecuencia",
     col = "pink")
color_met_1 = "red"
color_met_2 = "blue"
abline(v = percentil_2_5, col = color_met_1, lwd = 2)
abline(v = percentil_97_5, col = color_met_1, lwd = 2)
abline(v = nuevo_limite_inferior_ajustado, col = color_met_2, lwd = 2)
abline(v = nuevo_limite_superior_ajustado, col = color_met_2, lwd = 2)

legend("topright", legend = c("Método 1", "Método 2"), 
       col = c(color_met_1, color_met_2), lwd = c(1, 2))

## Conclusión

El histograma revela una leve asimetría hacia la derecha en la distribución de datos, con la media concentrada en torno a las 5.5 millas por galón. Podemos destacar que, conforme aumenta el tamaño de la muestra, los datos muestran una mayor tendencia a aproximarse a una distribución normal.

Contestando a la presgunta del ejercicio si se ¿confiaría en estas estimaciones?, la respuesta es: SI, ya que el método bootstrap se presenta como una herramienta sólida para la estimación de intervalos de confianza en poblaciones que no siguen una distribución normal.

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