1 ESTIMACCIÓN BOOSTRAP

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1, X∗2, X∗2, X∗n, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X¯∗i, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1 (P2.5;P97.5) Método 2 (2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)

2 PASOS A SEGUIR

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

3 SOLUCIONES

  • Inicialmente, se crea la muestra de los datos proporcionados, luego se extraen las 1.000 muestras mediante la funcion boot para métodos de remuestreo, que tengan el mismo tamaño de la nuestra original, se construye la matrix con todos los datos obtenidos y se calculan los estadísticos de interés, aplicando el método bootstrap
x<-c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)
estadisticosM0 <- summary(x)
summary(x)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   4.340   4.505   4.970   5.534   6.365   7.690
hist(x)

Se analizan los estadísticos de los datos proporcionados, para compararlos contra los generados con el método bootstap

boot<-sample(x,7000,replace=TRUE)
b<-matrix(boot,nrow=1000,ncol=7)
BootSrap<-apply(b,1,mean)
estadisticosM1 <- summary(BootSrap)
summary(BootSrap)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   4.403   5.249   5.534   5.566   5.870   7.311
hist(BootSrap)

Ahora, se generan los intervalos de confianza para el método 1

intervalo_confianza1 <- quantile(BootSrap, probs=c(0.025, 0.975))
intervalo_confianza1
##     2.5%    97.5% 
## 4.757143 6.508571

Ahora, se generan los intervalos de confianza para el método 2

intervalo_confianza2<-c(2*mean(BootSrap)-intervalo_confianza1[2], 2*mean(BootSrap)-intervalo_confianza1[1]) 
intervalo_confianza2
##    97.5%     2.5% 
## 4.623357 6.374786

Se genera el histograma marcando los intervalos de confianza

hist(BootSrap, las=1, main=" ", ylab = " ", xlab = " ", col="#034A94")
abline(v=intervalo_confianza1, col="#ec1c24",lwd=2)
abline(v=intervalo_confianza2, col="#b83dba",lwd=2)

Al realizar el mismo ejercicio, generando una muestra más grande, se encuentra que:

boot<-sample(x,70000,replace=TRUE)
b<-matrix(boot,nrow=1000,ncol=7)
## Warning in matrix(boot, nrow = 1000, ncol = 7): data length differs from size
## of matrix: [70000 != 1000 x 7]
BootSrap<-apply(b,1,mean)
estadisticosM2<-summary(BootSrap)
summary(BootSrap)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   4.403   5.204   5.513   5.528   5.841   6.933
hist(BootSrap)

intervalo_confianza1M2 <- quantile(BootSrap, probs=c(0.025, 0.975))
intervalo_confianza1M2
##     2.5%    97.5% 
## 4.705321 6.437714
intervalo_confianza2M2<-c(2*mean(BootSrap)-intervalo_confianza1M2[2], 2*mean(BootSrap)-intervalo_confianza1M2[1]) 
intervalo_confianza2M2
##    97.5%     2.5% 
## 4.618266 6.350659

Y al comparar los estadísticos de los datos proporcionados, generando datos con métodos bootstrap con 7.000 ítems y generando datos con métodos bootstrap con 70.000 items, se encuentra que:

estadisticosM0
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   4.340   4.505   4.970   5.534   6.365   7.690
estadisticosM1
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   4.403   5.249   5.534   5.566   5.870   7.311
estadisticosM2
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   4.403   5.204   5.513   5.528   5.841   6.933

Al comparar los intervalos de confianza construidos, se obtiene que:

intervalo_confianza1
##     2.5%    97.5% 
## 4.757143 6.508571
intervalo_confianza2
##    97.5%     2.5% 
## 4.623357 6.374786
intervalo_confianza1M2
##     2.5%    97.5% 
## 4.705321 6.437714
intervalo_confianza2M2
##    97.5%     2.5% 
## 4.618266 6.350659

4 CONCLUSIONES

  • Respecto a los datos proporcinados, se concluye que estos no son representativaos de la población y por lo tanto, los datos obtenidos de ellos pueden contener sesgos y llevar a conclusiones equivocadas.

  • Cuando se generaron los estadísticos con los datos proporcionados por el método bootstrap, se evidenció que los datos proporcionados distan de las dos muestras generadas, y también se evidencia que las muestras generadas aún cuando su tamaños son muy diferentes, su media e intervalos de confianza son similares

  • Se concluye que el rango de consumo de combustible de los camiones se encuentra entre 4.7 y 6.4 millas por galón, con una probabilidad del 95%

  • El método bootsrap converge a la teoría del límite central. Tiene una distribución aproximadamente normal, cuando el tamaño de la muestra es grande, independientemente de la forma de la distribución de la población.