Estimación Boostrap

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap \(X_{1}^*\). Después de anotado el valor se regresa \(X_{1}^*\) a la caja y se extrae el valor \(X_{2}^*\), regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, \(X_{1}^*\), \(X_{2}^*\), \(X_{3}^*\), \(X_{4}^*\), conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(\barX_{1}^*\), obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles \(P_{2.5}\) y \(P_{97.5}\). Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1 \((P_{2.5}, P_{97.5})\) Método 2 \((2\bar{X}-P_{97.5}; 2\bar{X}-P_{2.5})\)

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

Solución

# Establecer la semilla aleatoria para reproducibilidad
set.seed(247)

# Datos de la muestra original
x <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)

# Tamaño de la muestra
n <- length(x)

# Número de muestras bootstrap
k <- 7000

# Paso 1: Calcular la media muestral original
mmo <- mean(x)

# Paso 2 y 3: Realizar el procedimiento de bootstrap y calcular la media de cada muestra bootstrap
boot=sample(x, k, replace=TRUE)   # se extraen n x m muestras
b=matrix(boot,nrow=1000,ncol=7)    # se construye matriz de n x m 
mx=apply(b,1,mean)                 # se calculan m medias por fila

# Paso 4: Calcular los percentiles
percentil_2.5 <- quantile(mx, 0.025)
percentil_97.5 <- quantile(mx, 0.975)

# Paso 5: Calcular los intervalos de confianza utilizando los métodos 1 y 2
ic1 <- c(percentil_2.5, percentil_97.5)
ic2 <- c(2 * mmo - percentil_97.5, 2 * mmo - percentil_2.5)

# Paso 6: Imprimir resultados y comentar
print("Media muestral original:")
## [1] "Media muestral original:"
print(mmo)
## [1] 5.534286
print("Intervalo de confianza utilizando Método 1:")
## [1] "Intervalo de confianza utilizando Método 1:"
print(ic1)
##     2.5%    97.5% 
## 4.688179 6.424786
print("Intervalo de confianza utilizando Método 2:")
## [1] "Intervalo de confianza utilizando Método 2:"
print(ic2)
##    97.5%     2.5% 
## 4.643786 6.380393

Gráficamente

hist(mx, las=1, main=" ", ylab = " ", xlab = " ", col="#034A94")
abline(v=ic1, col="#FF7F00",lwd=2)
abline(v=ic2, col="#0EB0C6",lwd=2)

Conclusiones y análisis

Intérvalo de confianza usando el método 1

  • Este intérvalo se calcula directamente a partir de los percentiles 2.5% y 97.5% de las medias de las muestras boostrap.

Intérvalo de confianza usando el método 2

  • Se calcula mediante una transformación de los percentiles, usando la media muestral original.

Se puede observar que ambos intérvalos son bastante similares, ya que contienen la estimación de la media muestral original (5.5342857) sin embargo, el método 2 parece ofrecer límites más ajustados.

Si tuvieramos que escoger entre uno y otro, esto podría depender del contexto:

  • para un intérvalo de confianza más robusto y tal vez conservador, el método 1 por su simplicidad y cálculo directo puede ser más conveniente.

  • Si se considera que la muestra es confiable y su valor de media muestral proporciona alguna información relevante para el caso de estudio, el método 2 sería el adecuado.

En conclusión los dos métodos están en capacidad de entregar un valor razonable de la media poblacional con un nivel de confianza del 95%.

Según el fabricante de camiones Volvo, un camión puede gastar en promedio 6.18 Mi/gal, en condiciones estándar, y sin tener en cuenta factores como:

  • La forma como aceleras.
  • La rapidez con la que conduzcas.
  • El tiempo y el estado del camión.
  • La temperatura y el clima con que conduzcas.
  • El tráfico en la carretera.
  • El uso de aire acondicionado.

fuente

Utilizando el método boostrap se ha llegado a un intérvalo de confianza del 95% que está entre (4.643786, 6.380393). Si consideramos que el valor de referencia de un fabricante de camiones líder está dentro de este intervalo, podemos concluir que es un método eficiente considerando que se construyó la población a partir de 7 datos y se obtuvo un intérvalo que cubre el estimado real para este indicador de eficiencia de combustible en camiones diesel.