1 Intervalos de confianza usando estimación bootstrap

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal, y se requiere un intervalo de confianza, se pueden utilizar los métodos basados en la estimación bootstrap (Navidi 2006). Existen muchos de estos métodos; aquí se presenta uno simple y se muestra cómo utilizarlo para construir un intervalo de confianza para una media poblacional.

Se considerará el siguiente ejemplo. El artículo “In-use Emissions from Heavy Duty Diesel Vehicles” (J. Yanowitz, tesis de doctorado, Escuela de Minas, de Colorado, 2001) presenta mediciones de eficiencia del combustible (en milla/galón) de una muestra de siete camiones. Los datos son los siguientes:

\[7.69\ 4.97\ 4.56\ 6.49\ 4.34\ 6.24\ 4.45\]

Se supone que ésta es una muestra aleatoria de una población de camiones, y que se desea construir un intervalo de confianza de \(95%\) para la media \(\mu\) de la eficiencia de combustible de esta población. Al observar la muestra se sugiere que hay una separación cerca de la mitad de la distribución, ya que no hay ningún camión en la muestra con valores entre 5 y 6.

Por tanto, no se podría suponer que los datos fueran normales. La estimación bootstrap proporciona un método para construir un intervalo de confianza, cuyo nivel será aproximadamente de \(95%\) (o cualquier otro valor que se podría especificar).

Para construir un intervalo de confianza de estimación bootstrap, se deben extraer muestras de estimación bootstrap de los datos. Una muestra de estimación bootstrap es del mismo tamaño que los datos, extraída con reemplazo. Para describir esto último con detalle, se denotan los valores en una muestra aleatoria por \(X_{1},..., X_{n}\). Imagine colocar estos valores en una caja y extraer uno al azar. Éste sería el primer valor de la muestra de estimación bootstrap; se le denota con \(X_{1}^*\). Después se regresa a \(X_{1}^*\) a la caja y se extrae otro valor, \(X_{2}^*\). Se continúa de este modo hasta que se ha extraído \(n\) valores\(X_{1}^*,..., X_{n}^*\). Ésta es una muestra de estimación bootstrap. Observe que cada valor en la muestra de estimación bootstrap se ha extraído de la muestra de datos completa, por lo que es probable que algunos valores aparecerán más de una vez mientras que otros no lo harán.

Se extrajeron mil muestras por estimación bootstrap de los datos específicos del millaje. Los primeros diez y el último de éstos se presentan en la tabla 5.2. La media muestral se calcula para cada muestra de estimación bootstrap.

Muestra Valores de la muestra Media muestral
1 4.97 6.49 7.69 4.97 7.69 4.56 4.45 5.8314
2 6.24 4.97 4.56 4.97 4.56 6.24 7.69 5.6043
3 4.34 4.45 4.56 4.45 6.24 4.97 4.34 4.7643
4 4.45 6.49 7.69 6.24 4.97 4.45 4.34 5.5186
5 6.24 4.34 4.45 7.69 4.56 4.34 4.45 5.1529
6 4.34 4.97 7.69 4.97 6.24 6.24 6.24 5.8129
7 4.45 6.49 6.24 4.97 4.34 7.69 4.34 5.5029
8 6.49 7.69 4.97 6.49 6.49 4.34 4.56 5.8614
9 7.69 4.45 4.45 4.45 4.45 4.56 4.56 4.9443
10 6.24 4.56 4.97 6.49 4.45 4.97 6.24 5.4171
. . .
. . .
. . .
1 000 4.34 7.69 4.45 4.56 7.69 4.45 7.69 5.8386

Para construir un intervalo de confianza de estimación bootstrap, se deben extraer muchas muestras de estimación bootstrap (mil como mínimo). Debido a que se quiere un intervalo de confianza para la media m poblacional, se calcula la media muestral para cada muestra de estimación bootstrap. Sea \(\bar{X}_{i}^*\) la media de la \(i\)-ésima muestra de estimación bootstrap. Debido a que se quiere que el nivel del intervalo de confianza esté tan cerca de 95% como sea posible, se determina el intervalo que contiene a 95% del intermedio de las medias muestrales de estimación bootstrap. Los puntos finales de este intervalo son 2.5 percentil y 97.5 percentil de la lista de las medias de estimación bootstrap. Se denotan estos percentiles por \(\bar{X}_{.025}^*\) y \(\bar{X}_{.975}^*\), respectivamente.

Se calcularon estos percentiles para los datos del millaje. Las siguientes son las 26 más grandes de las mil muestras de estimación bootstrap \(\bar{X}_{i}^*\).

26 más pequeñas:

\(4.4929\ 4.4971\ 4.5357\ 4.5400\ 4.5514\ 4.5557\ 4.5557\ 4.5829\\ 4.5986\ 4.6143\ 4.6429\ 4.6457\ 4.6729\ 4.6729\ 4.6900\ 4.6943\\ 4.7014\ 4.7157\ 4.7257\ 4.7257\ 4.7329\ 4.7371\ 4.7414\ 4.7486\\ 4.7643\ 4.7643\\\)

26 más grandes:

\(6.4757\ 6.4757\ 6.4800\ 6.4900\ 6.4986\ 6.5214\ 6.5443\ 6.5543\\ 6.5929\ 6.5929\ 6.6257\ 6.6257\ 6.6471\ 6.6671\ 6.6900\ 6.6929\\ 6.7057\ 6.7129\ 6.7514\ 6.7971\ 6.7971\ 6.8486\ 6.9329\ 6.9686\\ 7.0714\ 7.104\\\)

Utilizando el método del cálculo de percentiles presentado en el capítulo (Navidi 2006), el percentil 2.5 es el promedio de los \(25o.\) y \(26o.\) valores en la muestra ordenada de mil, y el percentil 97.5 es el promedio de los valores \(975o.\) y \(976o.\) Por tanto, en este caso \(\bar{X}_{.025}^* = 4.7643\) y \(\bar{X}_{.975}^* = 6.4757\).

Dada una muestra aleatoria \(X_{1}^*,..., X_{n}^*\) de una población con media \(\mu\), un intervalo de confianza de estimación bootstrap para \(\mu\) con nivel aproximado de \(100(1 - \alpha)%\) se puede calcular como se muestra a continuación:

  • Extraiga un número de muestras (\(m >= 1000\)) de muestras de estimación bootstrap de tamaño \(n\) con reemplazo de \(X_{1},..., X_{n}\).
library(reactable)

data=c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) # datos muestra
bootstrap=sample(data,14000,replace=TRUE)   # se extraen n x m muestras
mootMatrix=matrix(bootstrap,nrow=2000,ncol=7)  
reactable(mootMatrix)
  • Calcule la media de cada muestra de estimación bootstrap. denote estas medias de estimación boostrap por \(\bar{X}_{1}^*,..., \bar{X}_{m}^*\).
library(reactable)

mx=apply(mootMatrix,1,mean) 

print(paste("La siguiente es una muestra de las medias calculadas:")) 
## [1] "La siguiente es una muestra de las medias calculadas:"
print(paste(mx[1:10]))
##  [1] "5.75428571428571" "5.69428571428571" "5.70571428571429" "4.90571428571429"
##  [5] "5.70428571428571" "5.33142857142857" "5.82571428571429" "5.57857142857143"
##  [9] "4.89714285714286" "5.35857142857143"

  • Calcule los percentiles \(100 \alpha/2\) y \(100 (1- \alpha/2)\) de las medias de estimación. Denote estos valores \(\bar{X}_{\alpha/2}^*, \bar{X}_{1 - \alpha/2}^*\)

  • Hay dos métodos para calcular el intervalo de confianza.

    Método 1: (\(\bar{X}_{\alpha/2}^*, \bar{X}_{1 - \alpha/2}^*\)) Método 2: (\(2\bar{X} - \bar{X}_{1 - \alpha/2}^*, 2\bar{X} - \bar{X}_{\alpha/2}^*\))

p_25 <- quantile(mx, 0.025)
p_975 <- quantile(mx, 0.975)

print(sprintf("Intervalo de confianza por el metodo No. 1: (%.2f, %.2f)", p_25, p_975))
## [1] "Intervalo de confianza por el metodo No. 1: (4.72, 6.44)"
lim_inf <- 2 * mean(mx) - p_975
lim_sup <- 2 * mean(mx) - p_25

print(sprintf("Intervalo de confianza por el metodo No. 2: (%.2f, %.2f)", lim_inf, lim_sup))
## [1] "Intervalo de confianza por el metodo No. 2: (4.59, 6.31)"
mx=apply(mootMatrix,1,mean)    

ic1=quantile(mx, probs=c(0.025, 0.975)) # se calcula IC método 1
ic2=c(2*mean(mx)-ic1[2], 2*mean(mx)-ic1[1]) # se calcula IC método 2

hist(mx, las=1, main=" ", ylab = " ", xlab = " ", col="#367BB5")
abline(v=ic1, col="red",lwd=2)
abline(v=ic2, col="blue",lwd=2)
Figura 1. Histograma e intervalos de confianza

Figura 1. Histograma e intervalos de confianza

Navidi, William. 2006. Estadística Para Ingenieros y Científicos. McGraw-Hill Interamericana.