Estimacción boostrap

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap \(X_1^*\). Después de anotado el valor se regresa \(X_1^*\) a la caja y se extrae el valor \(X_2^*\), regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, \(X_1^*\),\(X_2^*\),\(X_2^*\),\(X_n^*\) , conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(\overline{X}_i^*\), obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1 (P2.5;P97.5) Método 2 (2\(\overline{X}\)−P97.5;2\(\overline{X}\)−P2.5)

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

# Datos de la muestra
datos <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)

# Tamaño de la muestra
n <- length(datos)

# Número de remuestreos bootstrap
k <- 1000

# Generación de muestras bootstrap y cálculo de las medias
set.seed(123)  # Para reproducibilidad
medias_bootstrap <- replicate(k, mean(sample(datos, n, replace = TRUE)))

# Método 1: Intervalo de confianza basado en percentiles
IC_percentil <- quantile(medias_bootstrap, c(0.025, 0.975))

# Método 2: Intervalo de confianza ajustado
media_muestra <- mean(datos)
IC_ajustado <- 2 * media_muestra - quantile(medias_bootstrap, c(0.975, 0.025))

# Mostrar resultados
cat("Intervalo de confianza Método 1 (Percentil):", IC_percentil, "\n")
cat("Intervalo de confianza Método 2 (Ajustado):", IC_ajustado, "\n")
## Intervalo de confianza Método 1 (Percentil): 4.748393 6.508643 
## Intervalo de confianza Método 2 (Ajustado): 4.559929 6.320179

El resultado proporciona dos intervalos de confianza para la media de la eficiencia de combustible en millas por galón de una muestra de camiones, obtenidos mediante el método bootstrap. Cada método refleja una forma diferente de interpretar los datos generados a través del remuestreo.

Intervalo de Confianza Método 1 (Percentil): El intervalo de confianza va de 4.748393 a 6.508643. Este método directamente toma los percentiles 2.5 y 97.5 de todas las medias calculadas de las muestras bootstrap. Indica que, con un 95% de confianza, la media poblacional de la eficiencia de combustible se encuentra entre estos dos valores. Este intervalo es un poco más amplio, lo que puede interpretarse como una estimación más conservadora.

Intervalo de Confianza Método 2 (Ajustado): El intervalo de confianza va de 4.559929 a 6.320179. Este método ajusta los percentiles basándose en la media de la muestra original, lo que resulta en un intervalo ligeramente desplazado en comparación con el método anterior. La idea detrás de este ajuste es corregir el posible sesgo al centrar el intervalo alrededor de la media observada de la muestra.

Interpretación:

Los dos intervalos ofrecen una visión coherente pero ligeramente diferente sobre dónde se espera que se encuentre la verdadera media de la eficiencia de combustible para la población de camiones.

La diferencia en los intervalos sugiere que hay una variabilidad inherente en la estimación, lo cual es esperado dado que el bootstrap es un método estocástico. El hecho de que los intervalos no sean idénticos pero sí similares da confianza en la robustez del análisis. Ambos sugieren que la media poblacional está entre aproximadamente 4.5 y 6.5 millas por galón.

Si confiamos en estas estimaciones depende del contexto y el propósito del análisis. Si los intervalos parecen razonables basados en el conocimiento existente de la eficiencia del combustible en camiones, entonces pueden considerarse como confiables.