Objetivo

Estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene.

Problema 4

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1, X∗2, X∗2, X∗n, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1 (P2.5;P97.5) Método 2 (2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

Generación de muestras bootstrap:

Se crea una muestra bootstrap mediante el muestreo con reemplazo de los datos originales. Se extraen 7000 muestras de tamaño 7 (el mismo tamaño que la muestra original). Estas muestras se almacenan en una matriz b de dimensiones 1000 x 7.

x=c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) # datos muestra
boot=sample(x,7000,replace=TRUE)   # se extraen n x m muestras
b=matrix(boot,nrow=1000,ncol=7)    # se construye matriz de n x m 
mx=apply(b,1,mean)

Cálculo de la media de cada muestra bootstrap:

Se calcula la media de cada fila de la matriz b, lo que nos da 1000 valores de medias muestrales, denotados como X∗i¯.

Construcción de intervalos de confianza:

Método 1 (Percentiles): Se calculan los percentiles 2.5 y 97.5 de las medias muestrales. El intervalo de confianza es (P2.5, P97.5).

##     2.5%    97.5% 
## 4.721143 6.470000

Método 2 (Doble de la media menos percentiles):

Se calcula la media de todas las medias muestrales, denotada como X¯. Se multiplica X¯ por 2. Se obtienen los límites inferior y superior del intervalo restando los percentiles 97.5 y 2.5 de 2X¯, respectivamente. El intervalo de confianza es (2X¯−P97.5, 2X¯−P2.5).

##    97.5%     2.5% 
## 4.626829 6.375686

Visualización:

Se crea un histograma de las medias muestrales. Se agregan líneas verticales para representar los intervalos de confianza calculados por ambos métodos.

Compare los resultados obtenidos.

Método 1 (Percentiles):

Intervalo de confianza: (4.89, 5.63) (aproximadamente).

Método 2(Doble de la media menos percentiles):