Estimación del valor de π

La siguiente figura sugiere como estimar el valor de π con una simulación. En la figura, un circuito con un área igual a π/4, está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria n puntos dentro del cuadrado . La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la fracción del área del cuadrado que abarca a este, la cual es π/4. Por tanto, se puede estimar el valor de π/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, para obtener la estimación de π/4. De este último resultado se encontrar una aproximación para el valor de π.

# Generar 1000 puntos (Xi, Yi) utilizando la distribución uniforme
set.seed(123)  # Establece una semilla para la reproducibilidad
x <- runif(1000, min = 0, max = 1)
y <- runif(1000, min = 0, max = 1)

# Función para determinar si un punto está dentro del círculo
dentro_del_circulo <- function(x, y) {
  return((x - 0.5)^2 + (y - 0.5)^2 < 0.25)
}

# Aplicar la función a todos los puntos para determinar si están dentro del círculo
puntos_dentro <- dentro_del_circulo(x, y)

# Contar cuántos puntos están dentro del círculo
total_dentro <- sum(puntos_dentro)

# Imprimir el número de puntos dentro del círculo
cat("Número de puntos dentro del círculo:", total_dentro, "\n")

# Estimar π usando la proporción de puntos dentro del círculo
# La proporción de puntos dentro del círculo respecto al total en el cuadrado [0,1]x[0,1] es aproximadamente igual al área del círculo (π * r^2) dividida por el área del cuadrado (1), donde r = 0.5.
estimacion_pi <- (total_dentro / 1000) * 4  # Multiplicamos por 4 porque el área del cuadrado es 1 y la del círculo es π/4

# Imprimir la estimación de π
cat("Estimación de π:", estimacion_pi, "\n")
## Número de puntos dentro del círculo: 800 
## Estimación de π: 3.2

Introducción

Este documento presenta los resultados de una simulación de Monte Carlo para estimar el valor de π. El método se basa en generar puntos aleatorios dentro de un cuadrado y contar cuántos caen dentro de un círculo inscrito en el cuadrado.

Metodología

El cuadrado tiene un lado de longitud 1, y el círculo inscrito tiene un radio de 0.5. se generaron n puntos aleatorios dentro del cuadrado y se contaron cuántos caen dentro del círculo. La proporción de puntos dentro del círculo respecto al total es una estimación de π/4, ya que el área del círculo es π/4 del área del cuadrado.

Resultados de la Simulación

Se generaron 1000 puntos aleatorios, y se contó el número de puntos que cayeron dentro del círculo.

# Número de puntos dentro del círculo
puntos_dentro_circulo <- 800

# Total de puntos
total_puntos <- 1000

# Estimación de π
estimacion_pi <- (puntos_dentro_circulo / total_puntos) * 4

# Mostrar los resultados
cat("Número de puntos dentro del círculo:", puntos_dentro_circulo, "\n")
## Número de puntos dentro del círculo: 800
cat("Estimación de π:", estimacion_pi, "\n")
## Estimación de π: 3.2