Problema 4

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X1. Después de anotado el valor se regresa X1 a la caja y se extrae el valor X2 regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X1, X2, Xn, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestrabootstrap obtenidas se calcula la media x, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1: ( P 2.5 ; P 97.5 )

Método 2: ( 2 X - P 97.5 ; 2 X - P 2.5 )

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

Nota: las muestras bootstrap se pueden obtener a partir de muestreo aleatorio con repetición (o tambien llamado con sustitución)

x=c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) # datos muestra
boot=sample(x,7000,replace=TRUE)   # se extraen n x m muestras
b=matrix(boot,nrow=1000,ncol=7)    # se construye matriz de n x m 
mx=apply(b,1,mean)                 # se calculan m medias por fila
ic1=quantile(mx, probs=c(0.025, 0.975)) # se calcula IC método 1
ic1
##     2.5%    97.5% 
## 4.705714 6.470250
ic2=c(2*mean(mx)-ic1[2], 2*mean(mx)-ic1[1]) # se calcula IC método 2
ic2
##    97.5%     2.5% 
## 4.550527 6.315063
hist(mx, las=1, main=" ", ylab = " ", xlab = " ", col="#034A94")
abline(v=ic1, col="#FF7F00",lwd=2)
abline(v=ic2, col="#0EB0C6",lwd=2)

CONCLUSIONES:

Al observar los resultados y comparar los limites del intervalo de confianza del metodo 1 frente al metodo 2 se determina que: para el metodo 1 se proporciona un intervalo directo utilizando los percentiles 2.5 y 97.5 de las medias bootstrap lo que significa que el 95% de las medias bootstrap caen dentro de este rango. Para el metodo 2 se utiliza la mediana y los percentiles 2.5 y 97.5 de las medias bootstrap

  • Ambos intervalos son similares en términos de su amplitud.
  • los límites de los intervalos están invertidos entre los métodos: en el método 1, el límite inferior es mayor que el límite superior, mientras que en el método 2, es al revés.
  • Ambos intervalos indican que hay una alta probabilidad (95%) de que la verdadera media de la eficiencia de combustible de la población de camiones esté dentro del rango especificado.
  • Aunque los métodos proporcionan intervalos ligeramente diferentes, ambos sugieren que la eficiencia de combustible promedio de la población de camiones se encuentra entre aproximadamente 4.65 y 6.47 millas/galón, con un nivel de confianza del 95%.
  • Los dos métodos proporcionan intervalos de confianza similares para la media de la eficiencia de combustible de la población de camiones, lo que indica que ambos métodos son válidos y proporcionan una estimación útil de este parámetro.