Propiedades de los estimadores

El siguiente problema permite evidenciar las principales características de un grupo de estimadores propuestos para la estimación de un parámetro asociado a un modelo de probabilidad.

Sean X1, X2, X3 y X4, una muestra aleatoria de tamaño n=4 cuya población la conforma una distribución exponencial con parámetro θ desconocido. Determine las características de cada uno de los siguientes estimadores propuestos:

θ1ˆ=(X1+X2)/6+(X3+X4)/3

θ2ˆ=(X1+2X2+3X3+4*X4)/5

θ3ˆ=(X1+X2+X3+X4)/4

θ4ˆ=min{X1,X2,X3,X4}+max{X1,X2,X3,X4}/2

n=20

Genere una muestras de n=20 para cada uno de los estimadores planteados.En cada caso evalue las propiedades de insesgadez, eficiencia y consistencia

Valor para el parámetro θ=3

#valor real de teta = 3
# n=20
library(ggplot2)
n=4          # n: tamaño de muestra 
m=20*n                               # m tamaño de replicas del experimento 
Y=matrix(rexp(m,rate=1/3), ncol=n)    # matriz de datos m x n 

#calculo de parámetros

V1<-Y[,1]
V2<-Y[,2]
V3<-Y[,3]
V4<-Y[,4]
T1=(V1+V2)/6 + (V3+V4)/3
T2=(V1+(2*V2)+(3*V3)+(4*V4))/5
T3=(V1+V2+V3+V4)/4
T4=(pmin(V1,V2,V3,V4)+pmax(V1,V2,V3,V4))/2
estimadores=data.frame(T1,T2,T3,T4) 

boxplot(estimadores, las=1, main="Comparación estimadores con n=20")  # gráfico de comparación   
abline(h=3,  col="red")   

apply(estimadores,2,mean)  
##       T1       T2       T3       T4 
## 2.726633 5.653973 2.774672 3.192144
apply(estimadores,2,sd)  
##        T1        T2        T3        T4 
## 1.0512473 2.3653027 0.8388489 1.0468552

Las propiedades de los estimadores son las siguientes: - Insesgado: si el valor esperado del estimador es igual al parámetro - Eficiente: aquel estimador de menor parámetro - Consistente: La esperanza del estimador cuando n tiende a infinito es igual al parámetro

Para un tamaño de muestra de 20, los estimadores T1 y T3 son los que tienen valor esperado más cercanos a 3 y es T3 el de menor varianza

n=50

Genere una muestras de n=50 para cada uno de los estimadores planteados.En cada caso evalue las propiedades de insesgadez, eficiencia y consistencia

Valor para el parámetro θ=3

#valor real de teta = 3
# n=50
library(ggplot2)
n=4          # n: tamaño de muestra 
m=50*n                               # m tamaño de replicas del experimento 
Y=matrix(rexp(m,rate=1/3), ncol=n)    # matriz de datos m x n 

#calculo de parámetros

V1<-Y[,1]
V2<-Y[,2]
V3<-Y[,3]
V4<-Y[,4]
T1=(V1+V2)/6 + (V3+V4)/3
T2=(V1+(2*V2)+(3*V3)+(4*V4))/5
T3=(V1+V2+V3+V4)/4
T4=(pmin(V1,V2,V3,V4)+pmax(V1,V2,V3,V4))/2
estimadores=data.frame(T1,T2,T3,T4) 

boxplot(estimadores, las=1, main="Comparación estimadores con n=50")  # gráfico de comparación   
abline(h=3,  col="red")   

apply(estimadores,2,mean)  
##       T1       T2       T3       T4 
## 3.101313 6.215796 3.031488 3.558157
apply(estimadores,2,sd)  
##       T1       T2       T3       T4 
## 1.900273 3.937267 1.785516 2.150018

Para un tamaño de muestra de 50, nuevamente son los estimadores T1 y T3 son los que tienen valor esperado más cercanos a 3 y T3 el de menor varianza. T1 y T3 tienden al valor del parámetro cuando n aumenta

n = 100

Genere una muestras de n=100 para cada uno de los estimadores planteados.En cada caso evalue las propiedades de insesgadez, eficiencia y consistencia

Valor para el parámetro θ=3

#valor real de teta = 3
# n=100
library(ggplot2)
n=4          # n: tamaño de muestra 
m=100*n                               # m tamaño de replicas del experimento 
Y=matrix(rexp(m,rate=1/3), ncol=n)    # matriz de datos m x n 

#calculo de parámetros

V1<-Y[,1]
V2<-Y[,2]
V3<-Y[,3]
V4<-Y[,4]
T1=(V1+V2)/6 + (V3+V4)/3
T2=(V1+(2*V2)+(3*V3)+(4*V4))/5
T3=(V1+V2+V3+V4)/4
T4=(pmin(V1,V2,V3,V4)+pmax(V1,V2,V3,V4))/2
estimadores=data.frame(T1,T2,T3,T4) 

boxplot(estimadores, las=1, main="Comparación estimadores con n=100")  # gráfico de comparación   
abline(h=3,  col="red")   

apply(estimadores,2,mean)  
##       T1       T2       T3       T4 
## 2.952979 5.913056 2.978695 3.393053
apply(estimadores,2,sd)  
##       T1       T2       T3       T4 
## 1.507733 3.258845 1.479830 1.739063

Para un tamaño de muestra de 100, T1 y T3 mantienen las propiedades de insesgado y menor varianza con respecto a los otros dos evaluados

n = 1000

Genere una muestras de n=1000 para cada uno de los estimadores planteados.En cada caso evalue las propiedades de insesgadez, eficiencia y consistencia

Valor para el parámetro θ=3

#valor real de teta = 3
# n=1000
library(ggplot2)
n=4          # n: tamaño de muestra 
m=1000*n                               # m tamaño de replicas del experimento 
Y=matrix(rexp(m,rate=1/3), ncol=n)    # matriz de datos m x n 

#calculo de parámetros

V1<-Y[,1]
V2<-Y[,2]
V3<-Y[,3]
V4<-Y[,4]
T1=(V1+V2)/6 + (V3+V4)/3
T2=(V1+(2*V2)+(3*V3)+(4*V4))/5
T3=(V1+V2+V3+V4)/4
T4=(pmin(V1,V2,V3,V4)+pmax(V1,V2,V3,V4))/2
estimadores=data.frame(T1,T2,T3,T4) 

boxplot(estimadores, las=1, main="Comparación estimadores con n=1000")  # gráfico de comparación   
abline(h=3,  col="red")   

apply(estimadores,2,mean)  
##       T1       T2       T3       T4 
## 3.030478 6.069730 3.038706 3.525015
apply(estimadores,2,sd)  
##       T1       T2       T3       T4 
## 1.605306 3.325376 1.525145 1.948811

finalmente, para un tamaño de muestra de 1000, T1 y T3 son los mejores indicadores, por muy poco es T3 el de menor varianza. Los resultados obtenidos con n mayores, demuestra mejor desempeño de los estimadores