Informe 4: Estimación bootstrap

1. Planteamiento

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap \(X_{1}^*\). Después de anotado el valor se regresa \(X_{1}^*\) a la caja y se extrae el valor \(X_{2}^*\), regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, \(X_{1}^*\),\(X_{2}^*\),\(X_{3}^*\),\(X_{n}^*\), conformando la muestra bootstrap.

2. Metodología

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(\bar{X}_{i}^*\), obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles \(P_{2.5}\) y \(P_{97.5}\). Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1: {\(P_{2.5}\), \(P_{97.5}\)}

Método 2: (\(2\bar{X}-P_{97.5}; 2\bar{X}-P_{2.5}\))

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

3. Resultados

Se crea el vector “datos” que contendrá los valores del ejercicio. para la construcción del bootstrap se extraerán k=1000 muestras con reemplazo, a la que luego se le calculará la media en cada una de la muestra extraída.

# Generación del bootstrap

datos <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)

k <- 1000

medias_bt <- numeric(k)

for (i in 1:k) {
  muestra_bt <- sample(datos, size = length(datos), replace = TRUE)
  medias_bt[i] <- mean(muestra_bt)
}

Luego, se crean los intervalos de confianza de cada uno de los métodos, tomando los percentiles para el método 1 y la media de los datos y percetiles para el método 2.

# Creación de los Intervalos de Confianza

ic_metodo1 <- quantile(medias_bt, c(0.025, 0.975))

media_datos <- mean(datos)
ic_metodo2 <- c(2*media_datos-ic_metodo1[2],
                2*media_datos-ic_metodo1[1])


cat("El Intervalo de Confianza para el Método 1 viene dado por: (", ic_metodo1[1], ";", ic_metodo1[2], ")\n")

## El Intervalo de Confianza para el Método 1 viene dado por: ( 4.71975 ; 6.46 )

cat("El Intervalo de Confianza para el Método 2 viene dado por: (", ic_metodo2[1], ";", ic_metodo2[2], ")\n")

## El Intervalo de Confianza para el Método 2 viene dado por: ( 4.608571 ; 6.348821 )

cat("La media de los datos es: ", mean(media_datos), "\n")

## La media de los datos es:  5.534286

Tomando en cuenta los intervalos de confianza anteriores, puede observarse que son muy similares entre ellos, evidencian tener un comportamiento parecido, como se observa en el siguiente histograma de las medias con sus respectivos intervalos de confianza por cada método; donde las líneas en negro representan el método 1 y en rojo las del método 2.

library(ggplot2)
library(tidyverse)
library(hrbrthemes)

ggplot(data.frame(medias_bt), aes(x=medias_bt)) +
  geom_histogram(binwidth=0.15, fill="#d6a692", color="#e9ecef", alpha=0.9) +
  ggtitle("Distribución de medias del bootstrap") +
  labs(x="medias", y="densidad") +
  theme(
    plot.title = element_text(size=15)
  ) +
  geom_vline(aes(xintercept = ic_metodo1[1],color = "IC Método 1"),linetype = 5) +
  geom_vline(aes(xintercept = ic_metodo1[2],color = "IC Método 1"),linetype = 5) +
  geom_vline(aes(xintercept = ic_metodo2[1],color = "IC Método 2"),linetype = 5) +
  geom_vline(aes(xintercept = ic_metodo2[2],color = "IC Método 2"),linetype = 5) +
  geom_vline(aes(xintercept = mean(medias_bt),color = "Media"),linetype = 5) +
  scale_color_manual(name = "Estimación", values = c("IC Método 1" = "black", "IC Método 2" = "blue", "Media"="red")) +
  theme_ipsum()

4. Conclusiones

Se tiene en cuenta que el método 1 es el enfoque estándar utilizado generalmente al realizar un bootstrap y el método 2 es una transformación del primer método.

Cuando se comparan ambos métodos se puede observar que a pesar de ser similares sus intervalos de confianza, sí presentan diferencias en ellas, como se observó en el histograma; donde el método 2 reflejó y dado la naturaleza de éste, ser más simétrico en torno a la media que el método 1, pues hace uso de la media muestral de los datos, lo que conlleva a que el segundo método proporcione una mejor interpretación en términos de la precisión de la estimación. Sin embargo, es importante tener en cuenta que la elección del método puede depender de la naturaleza de los datos.