Problema 4

Estimacción boostrap

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95% - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap \(X^∗_1\). Después de anotado el valor se regresa \(X^∗_1\) a la caja y se extrae el valor \(X^∗_2\), regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño \(n, X^*_1, X^∗_2,X^∗_3,X^*_n\), conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(X^∗_i\), obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles \(P_{2.5}\) y \(P{9_7.5}\). Existen dos métodos para estimarlo:

Metodo 1:
\((P_2.5;P_97.5)\)
Metodo 2:
\(2\bar{X}-P_{97.5};2\bar{X} - P_{2.5}\)

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

Generación de muestras bootstrap

set.seed(123)
k=1000
X=c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)
n=length(X)
boostrap = sample(X, replace = TRUE, size = n*k)
matriz = matrix(boostrap, nrow = 1000, ncol = 7, byrow = TRUE)
matriz = apply(matriz, 1, mean)
promedioTotal = mean(matriz)

Metodo 1

m1 <- quantile(matriz, probs = c(0.025, 0.975))
m1
##     2.5%    97.5% 
## 4.748393 6.508643

Metodo 2

metodo2 = function(promedioTotal, percentiles) {
  return(c(2*promedioTotal - percentiles[2], 2*promedioTotal - percentiles[1]))
}

m2 = metodo2(promedioTotal, m1)
m2
##    97.5%     2.5% 
## 4.549526 6.309776

El proceso de generación de muestras bootstrap arrojó intervalos de confianza diferenciados por su posición con respecto al soporte de la distribución reconstruida, particularmente, se tiene que el intervalo construido por medio del método 2 se ubica aproximadamente 0,2 unidades (millas/galón) hacia la izquierda con respecto al intervalo construido por medio del método 2. Esta diferencia puede resultar importante en caso de emplear pruebas de hipótesis a replicar en grandes cantidades de vehículos y/o combustible, por lo cual se recomendaría una mayor atención a los detalles técnicos del contexto de los ejercicios a desarrollar con esta modelación al momento de escoger entre estos dos métodos.

La muestra reconstruida y los intervalos obtenidos pueden observarse en el siguiente histograma (método 1 coloreado en rosa y método 2 coloreado en naranja):

hist(matriz, las=1, main="Histograma muestra", ylab = " ", xlab = " ", col="#4daf4a")
abline(v=m1, col="#f781bf",lwd=2)
abline(v=m2, col="#ff7f00",lwd=2)

¿Confiaría en estas estimaciones?

Debe notarse que la utilización del bootstrapping, en la mayoría de los casos, se presenta como un último recurso a falta de información suficiente sobre la distribución de los datos con los que se piensa trabajar. Así, debe tenerse en cuenta que la información disponible debería reflejar en un buen nivel el rango de variabilidad de la distribución subyacante.

Por esta razón, es pertinente afirmar que el uso de estimaciones bootstrap puede resultar confiable en ejercicios en donde los pocos datos disponibles den fé de la variabilidad potencial de la variable aleatoria subyacente en el caso de análisis, incluso otorgando la posibilidad de formular hipótesis previas con respecto a la forma y patrones de la distribución a reconstruir a la luz de distribuciones teóricas.

Este tipo de comportamientos probabilísticos pueden hallarse en muestras limitadas de ejercicios con variables cuantitativas técnicas y puntuales, tales como las del enunciado del problema resuelto (lo anterior puede evidenciarse en el grado de simetría en el histograma), por lo cual la estimación realizada puede considerarse como confiable (no existiendo ningún otro recurso disponible). Sin embargo, debe afirmarse que este método puede no resultar confiable en ejercicios donde las variables a estimar posean grados de ambigüedad en sus resultados, tales como ejercicios en ciencias sociales o casos en donde no se tenga una idea clara sobre la población sobre la que se realiza inferencia estadística.