Actividad 2 - Propiedades de los estimadores

Planteamiento del problema

La simulación ayuda a entender y validad las propiedades de los estimadores estadísticos como son. insesgadez, eficiencia y la consistencia principalmente. El siguiente problema permite evidenciar las principales características de un grupo deestimadores propuestos para la estimación de un parámetro asociado a un modelode probabilidad.

Sean $X_1,X_2,X_3$ y $X_4$ una muestra aleatoria de tamaño n = 4 cuya población la conforma una distribución exponencial con parámetro θ desconocido. Determine las características de cada uno de los siguientes estimadores propuestos:

$$\widehat{{\theta }_1}=\frac{X_1+X_2}{6}+\frac{X_3+X_4}{3}$$

$$\widehat{{\theta }_2}=\frac{(X_1+2X_2+3X_3+4X_4)}{5}$$

$$\widehat{{\theta }_3}=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{4}$$

$$\widehat{{\theta }_4}=\frac{min(X_1,X_2,X_3,X_4)+max(X_1,X_2,X_3,X_4)}{2}$$

Para todo el ejercicio Lambda = 4 para la exponencial. Es decir, que el valor de comparacion debe estar cercano a 0.25

El valor esperado entonces es E[X] = (1 / Lambda)

Iniciamos con tamaño de muestra n = 20

Cada uno de los vectores X1,X2,X3 y X4, se les asignan valores alearotios entre 0 y 1 El tamaño de cada uno de los vectores es de 20 para este caso

Como el X4 necesita determinar el minimo y el maximo en cada uno de los vectores, se crea una matriz llamada datos Se crea un vector de tamaño 4 para almacenar el valor minimo. Esta vairable se llama dmin Igualemnte se procede con el valor maximo, dejandola en la variable dmax

Teniendo en cuenta que Lambda = 4, el valor estimado es cercano a 0.25

Finalmente se calculan los estimadores para cada una de las θ propuestas:

##        θ1                θ2               θ3               θ4        
##  Min.   :0.01042   Min.   :0.1725   Min.   :0.1008   Min.   :0.1014  
##  1st Qu.:0.18990   1st Qu.:0.3338   1st Qu.:0.1909   1st Qu.:0.2264  
##  Median :0.24401   Median :0.4658   Median :0.2519   Median :0.3194  
##  Mean   :0.25858   Mean   :0.5120   Mean   :0.2525   Mean   :0.3209  
##  3rd Qu.:0.31109   3rd Qu.:0.6161   3rd Qu.:0.3107   3rd Qu.:0.3917  
##  Max.   :0.66224   Max.   :1.0513   Max.   :0.4145   Max.   :0.6148

Del anterior resultado, se puede apreciar que:
${\theta }_2$ tiene una varianza muy grande
${\theta }_2$ es sesgado ya que la media (Mean) debe estar cerca al valor parameteo de 0.5

Es decir, se podria eliminar de nuestro análisis a ${\theta }_2$ , pues tiene un sesgo muy grandes

Se repite el proceso con una muestra n = 50

##        θ1                θ2               θ3                θ4        
##  Min.   :0.02296   Min.   :0.1444   Min.   :0.08528   Min.   :0.0961  
##  1st Qu.:0.14929   1st Qu.:0.2807   1st Qu.:0.17069   1st Qu.:0.1760  
##  Median :0.23863   Median :0.5424   Median :0.27836   Median :0.2771  
##  Mean   :0.26820   Mean   :0.5418   Mean   :0.27409   Mean   :0.3069  
##  3rd Qu.:0.33780   3rd Qu.:0.7369   3rd Qu.:0.34685   3rd Qu.:0.4175  
##  Max.   :0.88527   Max.   :1.0092   Max.   :0.58204   Max.   :0.7208

En esta iteración se encuentra que:
${\theta }_2$ aumenta en la insesgadez
${\theta }_4$ tambien comienza a distanciarse de la linea esperada

Se repite el proceso con una muestra n = 100

##        θ1                θ2                θ3                θ4         
##  Min.   :0.02469   Min.   :0.08279   Min.   :0.04516   Min.   :0.04592  
##  1st Qu.:0.13926   1st Qu.:0.30211   1st Qu.:0.15242   1st Qu.:0.16394  
##  Median :0.20998   Median :0.40757   Median :0.20559   Median :0.25385  
##  Mean   :0.25000   Mean   :0.49136   Mean   :0.24369   Mean   :0.27784  
##  3rd Qu.:0.31117   3rd Qu.:0.64330   3rd Qu.:0.30273   3rd Qu.:0.35905  
##  Max.   :0.92817   Max.   :1.57024   Max.   :0.77346   Max.   :0.95716

Se mantiene la tendencia descrita hasta el momento

Se repite el proceso con una muestra n = 1000

##        θ1                θ2                θ3                θ4         
##  Min.   :0.01165   Min.   :0.03222   Min.   :0.01766   Min.   :0.01735  
##  1st Qu.:0.13857   1st Qu.:0.30203   1st Qu.:0.15815   1st Qu.:0.18024  
##  Median :0.21384   Median :0.44109   Median :0.22456   Median :0.25187  
##  Mean   :0.24955   Mean   :0.49354   Mean   :0.24756   Mean   :0.28571  
##  3rd Qu.:0.32915   3rd Qu.:0.61960   3rd Qu.:0.31499   3rd Qu.:0.36215  
##  Max.   :1.05510   Max.   :2.02621   Max.   :0.89915   Max.   :1.08624

Para poder determinar claramente cual de las ecuaciones cumple con las propiedades, se puede utilizar otro tipo de datos:

## Descriptive Statistics  
## estimadores  
## N: 1000  
## 
##                          θ1        θ2        θ3        θ4
## ----------------- --------- --------- --------- ---------
##              Mean      0.25      0.49      0.25      0.29
##           Std.Dev      0.15      0.27      0.12      0.15
##               Min      0.01      0.03      0.02      0.02
##                Q1      0.14      0.30      0.16      0.18
##            Median      0.21      0.44      0.22      0.25
##                Q3      0.33      0.62      0.32      0.36
##               Max      1.06      2.03      0.90      1.09
##               MAD      0.13      0.23      0.11      0.13
##               IQR      0.19      0.32      0.16      0.18
##                CV      0.62      0.56      0.50      0.54
##          Skewness      1.39      1.45      1.10      1.24
##       SE.Skewness      0.08      0.08      0.08      0.08
##          Kurtosis      2.67      3.43      1.86      2.17
##           N.Valid   1000.00   1000.00   1000.00   1000.00
##         Pct.Valid    100.00    100.00    100.00    100.00

Conclusión

Al analizar este resultado se evidencia que:
1. ${\theta }_3$ tiene el valor más aproximado a la media
2. ${\theta }_3$ tiene la menor varianza de las ecuaciones presentadas

Por tanto, ${\theta }_3$ cumple con las propiedades de los estimadores mejor que las otras ecuaciones propuestas:

Sesgo: Con el aumento del tamaño de la muestra, se evidencia que el sesgo se reduce en todos los estimadores.

Eficiencia: Entre mas grande la muestra, la eficiencia mejora, porque la dispersión se reduce.