1 §

Sigui \(X\) una variable aleatòria que segueix una distribució de poisson zero-truncada, és a dir, \(ZTP(\lambda)\) amb \(\lambda>0\):

  1. Simula 250 punts de la distribució \(X\) amb \(\lambda = 5\) i fés un histograma de les dades.
x <- numeric(0)
lambda <- 5
nsim <- 250
i <- 1
while(i < (nsim+1)){
  aux <- rpois(n = 1, lambda = lambda)
  if(aux > 0){
    x[i] <- aux
    i <- i +1
  }
}

length(x) # total de punts simultats = nsim 
## [1] 250
hist(x, sqrt(length(x)))

  1. Empiricament, demostra que la mitjana i variància mostral tendeixen respectivament cap als valors \(5.034\) i \(4.863\).
mx <- 5.034
plot(1:nsim, cumsum(x)/1:nsim, type = "l")
abline(h = mx, col = 2, lty = 2)

vx <- 4.863
plot(1:nsim, cumsum(x^2)/1:nsim - (cumsum(x)/1:nsim)^2, type = "l") # V(X) = E(X^2) - E(X)^2
abline(h = vx, col = 2, lty = 2)

2 §

Sigui \(X\) una variable aleatòria tal que segueix una distribució normal \(N(\mu =7, \sigma^2 =3)\) esquerra-truncada al 5.

  1. Simula 250 punts de la distribució \(X\) i fés un histograma de les dades.
nsim <- 250
mu <- 7
s <- sqrt(3)
t <- 5
x <- NULL
i <- 1
while(i<(nsim+1)){
  aux <- rnorm(1, mu, s)
  if(aux>t){
    x[i] <- aux
    i <- i+1
  }
}

hist(x, breaks = sqrt(nsim))

  1. Empiricament, demostra que la mitjana i variància mostral tendeixen respectivament cap a \(7.405\) i \(2.026\).
plot(cumsum(x)/1:nsim, type = "l", main = "Mitjana") # mitjana = sum xi / n
abline(h = 7.405, col = 2, lty = 2)

plot((cumsum(x^2)/1:nsim) - (cumsum(x)/1:nsim)^2, type = "l", main = "Variància") # var = sum xi^2/n - ( sum xi / n )^2
abline(h = 2.026, col = 2, lty = 2)

3 §

Considera l’àrea compresa entre la funció sinus i cosinus definida al rectangle \([\pi/4, 9\pi/4]\times [-1, 1]\).

  1. Quina és la probabilitat que un punt qualsevol caigui dintre de l’àrea definida?
xmin <- pi/4
xmax <- 9*pi/4
ymax <- 1
ymin <- -1

x0 <- seq(xmin, xmax, 0.01)
plot(x0, sin(x0), type = "l") # Visualitzem les àrees
lines(x0, cos(x0))

nsim <- 10^4
x <- runif(nsim, xmin, xmax)
y <- runif(nsim, ymin, ymax)
z <- rep(1, nsim)
inter <- 5*pi/4 # intersecció
for(i in 1:nsim){
  if(x[i]<inter && y[i]>cos(x[i]) && y[i]<sin(x[i]) ) z[i] <- 2
  if(x[i]>inter && y[i]<cos(x[i]) && y[i]>sin(x[i]) ) z[i] <- 2
}
  
x0 <- seq(xmin, xmax, 0.01)
plot(x0, sin(x0), type = "l")
lines(x0, cos(x0))
points(x, y, col = z, pch = 19, cex = 0.5) # Visualitzem si els hem identificat bé

sum(z==2)/nsim # probabilitat de caure dintre de l'àrea
## [1] 0.4478
  1. Quant medeix aquesta àrea?
# (xmax - xmin) * (ymax - ymin)                 # Àrea total
sum(z==2)/nsim * (xmax - xmin) * (ymax - ymin) # Àrea dintre regió
## [1] 5.627221

4 §

Considera l’àrea compresa entre la funció arctangent i arctangent negativa definida al rectangle \([\pi/2, 3\pi/2]\times [-2, 2]\).

  1. Quina és la probabilitat que un punt qualsevol caigui dintre de l’àrea definida?
xmin <- pi/2
xmax <- 3*pi/2
ymax <- 2
ymin <- -2

x0 <- seq(xmin, xmax, 0.01)
plot(x0, atan(x0), type = "l", ylim=c(ymin, ymax)) # Visualitzem les àrees
lines(x0, -atan(x0))

nsim <- 10^4
x <- runif(nsim, xmin, xmax)
y <- runif(nsim, ymin, ymax)
z <- rep(1, nsim)
for(i in 1:nsim){
  if(y[i]<atan(x[i]) && y[i]>-atan(x[i])) z[i] <- 2
}
  
x0 <- seq(xmin, xmax, 0.01)
plot(x0, atan(x0), ylim = c(-2, 2), type = "l")
lines(x0, -atan(x0))
points(x, y, col = z, pch = 19, cex = 0.50) # Visualitzem si els hem identificat bé

sum(z==2)/nsim # probabilitat de caure dintre de l'àrea
## [1] 0.6264
  1. Quant medeix aquesta àrea?
# (xmax - xmin) * (ymax - ymin)                 # Àrea total
sum(z==2)/nsim * (xmax - xmin) * (ymax - ymin) # Àrea dintre regió
## [1] 7.871575