Para el desarollo de este ejercicio se utiliza una variable aleatoria que se ajusta a una distribucion exponencial la cual se rige bajo siguiente función de probabilidad acumuladaa:

F(X)=1-e^(-λ*X)

se procede a despejar X, la cual es la variable aleatoria con la cual se generan una muestra de aleatoria de cuatro variables X1,X2,X3,X4 respectivamente. Con un parametro λ=2 que corresponde a una media de 1/2

X=(-1/λ)*ln(1-F(X))

Se realiza el calculo de cada uno de los estimadores de acuerdo con la formula propuesta en el ejercicio

Posteriormente, se hacen 20,50,100 y 1000 repeticiones para cada uno de estos estimadores obteniendo los graficos a continuación:

Posteriormente, se tabulan los resultados del promedio de los estimadores como se muestra a continuación:

##                         T1       T2       T3       T4
## Estimadores20R   0.5177122 1.021979 1.966319 1.665573
## Estimadores50R   2.0112536 1.010602 1.985638 1.727677
## Estimadores100R  2.0235725 1.022156 2.013953 1.744008
## Estimadores1000R 2.0079495 1.010253 2.000050 1.721110

Luego a cada valor del estimador se le calcula el valor absoluto de la resta del parametro λ-Thethai, obteniendo de esta forma una matriz de valores absolutos del sesgo, el cual permite calcular el valor mas cercano al parametro.

##                           T1        T2           T3        T4  Sesgominimo
## Estimadores20R   1.482287809 0.9780206 3.368087e-02 0.3344268 3.368087e-02
## Estimadores50R   0.011253596 0.9893985 1.436250e-02 0.2723235 1.125360e-02
## Estimadores100R  0.023572486 0.9778440 1.395350e-02 0.2559924 1.395350e-02
## Estimadores1000R 0.007949495 0.9897469 4.970722e-05 0.2788896 4.970722e-05

Como resultado de esta tabulacion podremos observar que los estimadores que más se acercan al valor del parametro es Theta 3 para las replicas=20, 100 y 1000 y para la replicas=50 3l que as se acerca al valor del parametro es Theta 1. convirtiendo a theta 3 en el parametro más insesgado

Para evaluar la consistencia se observa el valor absoluto del sesgo y como este tiende a 0 a medida que el tamaño de las replicas aumenta. Se concluye que Theta 3 es el estimador mas consistente.

De igual forma se calcula la varianza para cada uno de los estimadores y se tabula para evaluar la propiedad eficiencia.

##                           T1        T2         T3        T4     Varmin
## Vestimadores20R   0.06803333 0.2192192 0.04964954 0.1301817 0.04964954
## Vestimadores50R   0.06697232 0.2679561 0.06724301 0.1232753 0.06697232
## Vestimadores100R  0.05180615 0.2348037 0.04945630 0.0822846 0.04945630
## Vestimadores1000R 0.07155260 0.2941633 0.06496121 0.1009200 0.06496121

De la anterior tabla se puede observar que el estimador mas eficiente hace referencia a Theta 3, pues es el que posee la menor varianza para las replicas= 20, 100 y 1000.