Problema 1

Determine la región de rechazo apropiada para las pruebas de z con muestras grandes:

Una prueba de cola superior con α=0.01



 z=  2.326348

 Intervalo de rechazo:  2.326348 3


Una prueba de dos colas con un nivel de significancia de 0.05



 z1 =  -1.644854

 z2 =  1.644854

 Primera región de rechazo:  -3 -1.644854

 Segunda región de rechazo:  1.644854 3


Una prueba de cola inferior con un nivel de significancia de 0.01



 z=  -2.326348

 Intervalo de rechazo:  -3 -2.326348


Encuentre el valor-p para cada una de las siguientes pruebas de z con muestras grandes:

Una prueba de cola superior con z=1.15


z=  1.15

valor-p =  0.1250719


Una prueba de dos colas con z=−2.78


z =  -2.78

valor-p =  0.9945641


Una prueba de cola inferior con z=−1.81


z=  -1.81

valor-p =  0.03514789


Problema 2

Suponga que se estudia la compra de una nueva maquina para una empresa. Se comprara la maquina si la proporción de la producción que necesita ser reprocesados por tener defectos es inferior al 5%. Se examina una muestra de 40 artículos construidos por la maquina y 3 necesitan ser reprocesados . ¿ Que decisión se toma? ( Se compra o no la maquina?)

Suponemos que \(\alpha = 0.05\)

Hipótesis

\(H_o: p \ge 0.05\) La proporción de producción reprocesada es 5% o mayor.

\(H_a: p < 0.05\) La proporción de producción reprocesada es menor a 5%.


 EdP =  0.7254763

 z1 =  -1.959964

 z2 =  1.959964

 Primera región de rechazo:  -3 -1.959964

 Segunda región de rechazo:  1.959964 3

 valor-p =  0.5318401


Decisión

Notamos que EdP no cae en la región de rechazo, por lo que se asume \(H_o\). Por lo tanto, se le recomienda a la empresa que no compre la máquina, pues según la información que tenemos es probable que el 5% o más de lo producido se deba reprocesar.


Problema 4

Un ingeniero desea evaluar si el tiempo promedio de producción de una línea de ensamblaje que actualmente es de 25 minutos, parece haber disminuido después de implementar un nuevo proceso. Para ello, toma una muestra aleatoria de 30 productos ensamblados después del cambio. Los tiempos de producción se registran en minutos. Con un nivel de significancia del 5%, ¿hay suficiente evidencia para afirmar que el nuevo proceso ha reducido el tiempo promedio de producción?

 [1] 20 19 21 18 22 20 19 23 21 20 18 22 20 19 23 21 20 18 22 20 19 23 21 20 18
[26] 22 20 19 23 21


Suponemos que \(\alpha = 0.05\)

Hipótesis

\(H_o: \mu \ge 25\) El promedio del tiempo de producción se mantiene o es mayor.

\(H_a: \mu < 25\) El promedio del tiempo de producción ha disminuido.


 EdP =  15.85849

 z1 =  -2.04523

 z2 =  2.04523

 Primera región de rechazo:  -3 -2.04523

 Segunda región de rechazo:  2.04523 3

 valor-p =  1


Decisión

Debido a que la probabilidad de tener un error tipo 1 es del 100%, deducimos que \(H_0\) es verdadera, por lo que podemos decir que el ingeniero está equivocado y el promedio del tiempo no ha disminuido.


Problema 5

Un gerente de una planta industrial afirma que la resistencia media de un material utilizado en la fabricación de piezas automotrices es de al menos 500 MPa. Para probar esta afirmación, se toma una muestra aleatoria de 25 piezas y se prueba su resistencia. Las resistencias encontradas se registran a continuación:

 [1] 480 490 495 485 500 485 475 490 480 495 500 485 480 490 485 495 500 485 475
[20] 490 480 495 500 485 480 490 485 495 500 485


¿Hay suficiente evidencia para rechazar la afirmación del gerente con un nivel de significancia del 1%?


Suponemos que \(\alpha = 0.01\)

Hipótesis

\(H_o: \mu \ge 500\) La resistencia es a lo menos 500 MPa.

\(H_a: \mu < 500\) La resistencia es menos de 500 MPa.


 EdP =  7.493531

 z1 =  -2.79694

 z2 =  2.79694

 Primera región de rechazo:  -3 -2.79694

 Segunda región de rechazo:  2.79694 3

 valor-p =  0.9999999


Decisión

Debido a que la probabilidad de tener un error tipo 1 es del 99%, deducimos que \(H_0\) es verdadera, por lo que podemos decir que el gerente está en lo correcto y el promedio de la resistencia es de al menos 500 MPa.


Problema 6

Un analista financiero desea determinar si la volatilidad de los rendimientos de una acción ha aumentado significativamente en los últimos meses (con relacion a un valor histórico de 0.01) . Para ello, recopila los rendimientos diarios de la acción durante los últimos 24 días y calcula la varianza muestral. Con un nivel de significancia del 5%, ¿hay suficiente evidencia para afirmar que la volatilidad ha aumentado?

  [1] -0.01  0.00  0.03  0.00  0.00  0.03  0.01 -0.03 -0.01 -0.01  0.02  0.01
 [13]  0.01  0.00 -0.01  0.04  0.01 -0.04  0.01 -0.01 -0.02  0.00 -0.02 -0.01
 [25] -0.01 -0.03  0.02  0.00 -0.02  0.03  0.01 -0.01  0.02  0.02  0.02  0.01
 [37]  0.01  0.00 -0.01 -0.01 -0.01  0.00 -0.03  0.04  0.02 -0.02 -0.01 -0.01
 [49]  0.02  0.00  0.01  0.00  0.00  0.03  0.00  0.03 -0.03  0.01  0.00  0.00
 [61]  0.01 -0.01 -0.01 -0.02 -0.02  0.01  0.01  0.00  0.02  0.04 -0.01 -0.05
 [73]  0.02 -0.01 -0.01  0.02 -0.01 -0.02  0.00  0.00  0.00  0.01 -0.01  0.01
 [85]  0.00  0.01  0.02  0.01 -0.01  0.02  0.02  0.01  0.00 -0.01  0.03 -0.01
 [97]  0.04  0.03  0.00 -0.02


Suponemos que \(\alpha = 0.05\)

Hipótesis

\(H_o: \sigma^2 \le 0.01\) La varianza es menor o igual a 0.01.

\(H_a: \sigma^2 > 0.01\) La varianza es mayor a 0.01.


 EdP =  3.299602

 z1 =  73.36108

 z2 =  128.422

 Primera región de rechazo:  0 73.36108

 Segunda región de rechazo:  128.422 50

 valor-p =  1


Decisión

Debido a que la probabilidad de tener un error tipo 1 es del 100%, deducimos que \(H_0\) es verdadera, por lo que podemos decir que el analista no está en lo correcto y la varianza no ha aumentado.


Problema 7

Un gestor de fondos afirma que la varianza de los rendimientos de un portafolio de inversión es superior al 2% mensual. Para verificar esta afirmación, se recopilan los rendimientos mensuales durante los últimos 24 meses y se calcula la varianza muestral. Con un nivel de significancia del 1%, ¿hay suficiente evidencia para respaldar la afirmación del gestor?

 [1] 0.03 0.02 0.04 0.01 0.05 0.03 0.02 0.04 0.01 0.05 0.03 0.02 0.04 0.01 0.05
[16] 0.03 0.02 0.04 0.01 0.05 0.03 0.02 0.04 0.01


Suponemos que \(\alpha = 0.01\)

Hipótesis

\(H_o: \sigma^2 \ge 0.02\) La varianza es mayor o igual a 0.02.

\(H_a: \sigma^2 < 0.02\) La varianza es menor a 0.02.


 EdP =  0.2291667

 z1 =  9.260425

 z2 =  44.18128

 Primera región de rechazo:  0 9.260425

 Segunda región de rechazo:  44.18128 50

 valor-p =  1


Decisión

A pesar de que la solución se ve en la región de rechazo, debido a que la probabilidad de tener un error tipo 1 es del 100%, deducimos que \(H_0\) es verdadera, por lo que podemos decir que el gestor está en lo correcto y la es mayor o igual al 2%.


Problema 8

En un departamento de carnes de una cadena de supermercados empaca carne molida en recipientes de dos tamaños. El recipiente más pequeño debe contener una libra de carne. Una muestra de 35 paquetes de tamaño más pequeño, tiene una media de 1.01 lbs y una desviación estandar de 0.18 lbs. El gerente quiere determinar si se está cumpliendo o no con lo escrito en la etiqueta de los paquetes.


Suponemos que \(\alpha = 0.05\)

Hipótesis

\(H_o: \mu = 1\) El empaque contiene una libra en promedio.

\(H_a: \mu \neq 1\) El empaque no contiene una libra en promedio.


 EdP =  0.3286711

 z1 =  -2.032245

 z2 =  2.032245

 Primera región de rechazo:  -3 -2.032245

 Segunda región de rechazo:  2.032245 3

 valor-p =  0.2555798


Decisión

Como la EdP cae en la región de no rechazo asumimos \(H_0\), es decir, asumimos que los empaques tienen una media de 1lbs y que se está cumpliendo con lo escrito en las etiquetas.