Verificación gráfica

La graficación de los residuales en orden temporal de recolección de los datos es útil para detectar correlaciones entre los residuales \(e_{ij}\). Una tendencia a tener corridas de residuales \(e_{ij}\) positivos o negativos indica una correlación positiva. Esto implicaría que el supuesto de independencia de los errores \(\epsilon_{ij}\) ha sido violado. La aleatorización adecuada del experimento es un paso clave para poder conseguir independencia.

Verificación gráfica ejemplo

Tomaremos como ejemplo el caso de la fibra sintética fabricada con distintos porcentajes de algodón que se presume afecta la resistencia a la tensión:

Se pueden calcular los residuales \(e_{ij}\) usando la siguiente expresión:

\[e_{ij}=y_{ij}-\hat{y_{ij}}\]

Para el orden de los residuales se usa el orden de las corridas experimentales aleatorizadas como siguen en la siguiente tabla:

Por lo que el cálculo de los residuales en orden de corrida experimental se muestra a continuación:

Para realizar la verificación gráfica, construimos un gráfico de dispersión con los siguientes datos:

\[Eje~X \rightarrow~Orden~de~corrida~experimental \\ Eje~Y \rightarrow Residuales~ organizados~por~orden~de~corrida\]

Teniendo en cuenta lo anterior el gráfico resulta en:

De esta manera, si al graficar en el eje horizontal el tiempo (orden de corrida) y en el eje vertical los residuos, se detecta una tendencia o patrón no aleatorio claramente definido, esto es evidencia de que existe una correlación entre los errores y, por lo tanto, el supuesto de independencia no se cumple. Si el comportamiento de los puntos es aleatorio dentro de una banda horizontal, el supuesto se está cumpliendo. La violación de este supuesto generalmente indica deficiencias en la planeación y ejecución del experimento; asimismo, puede ser un indicador de que no se aplicó en forma correcta el principio de aleatorización, o de que conforme se fueron realizando las pruebas experimentales aparecieron factores que afectaron la respuesta observada.

Verificación analítica

Una prueba analítica para verificar la independencia entre residuos consecutivos es la prueba de Durbin-Watson

Esta prueba permite diagnosticar la presencia de correlación (autocorrelación) entre los residuos consecutivos (ordenados en el tiempo), que es una posible manifestación de la falta de independencia. La autocorrelación se presenta en experimentos en los cuales cada medición tiene alguna contaminación de la medición inmediata anterior, lo cual contradice el supuesto de independencia.

Solución gráfica de ejemplo de clase

Supongamos que el orden de corrida experimental fue el siguiente:

Para realizar la verificación gráfica hacemos lo siguiente:

# Análisis de varianza con datos en orden de corrida experimental
cuero <- c("B","A","D","C","C","C","D","B","C","A","A","C","B","B","A","A","B","C","D","D","D","A","B","D")
desgaste <- c(213,241,215,219,220,228,227,200,263,264,262,225,220,206,255,258,208,230,220,222,226,260,216,217)
cuero <- as.factor(cuero)
modelo <- lm(desgaste~cuero)
anova <- aov(modelo)

# Generamos el orden de corrida experimental y los residuales del objeto anova
orden <- c(1:24)
residuales <- anova$residuals

# Realizamos el gráfico orden vs residuales
plot(x=orden, y=residuales, main="Independencia", xlab="Orden de corrida experimental", ylab="Residuales", ylim=c(-25,40), xlim=c(0,25), abline(lm(residuales~orden)))

Es lógico sospechar sobre la dependencia dada un leve patrón de tendencia creciente en los residuales.

Solución analítica - formal de ejemplo de clase Test de Durbin-Watson

# Análisis de varianza con datos en orden de corrida experimental
cuero <- c("B","A","D","C","C","C","D","B","C","A","A","C","B","B","A","A","B","C","D","D","D","A","B","D")
desgaste <- c(213,241,215,219,220,228,227,200,263,264,262,225,220,206,255,258,208,230,220,222,226,260,216,217)
cuero <- as.factor(cuero)
modelo <- lm(desgaste~cuero)
anova <- aov(modelo)

# Test Durbin - Watson
library(car)
durbinWatsonTest(modelo)

##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1      0.01900478      1.950509   0.844
##  Alternative hypothesis: rho != 0

De los resultados obtenemos lo siguiente:

• \(d_0 = 1,95509\)

De la tabla de Durbin - Watson para \(\alpha = 0,05\), \(k=4\) tratamientos, y \(24\) observaciones o residuales:

• \(d_L=1,013\)

• \(d_U=1,775\)

• \(4-d_U= 2,225\)

• \(4-d_L=2,987\)

Como

\[d_U=1,775 <d_0=1,950509 < 4-d_U=2,225\]

No existe evidencia estadística suficiente para rechazar \(H_0\) por lo que no existe correlación serial entre los residuales organizados por orden de corrida experimental. Por lo que se cumple mediante el Test de Durbin-Watson el criterio de independencia.