Estimacción boostrap.

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n , X∗1, X∗2, X∗2 ,X∗n, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1.

\((P2.5;P97.5)\)

Método 2.

\((2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)\)

Desarrollo.

Para comenzar, asignamos a la variable ‘x’ el vector que contiene las muestras de las mediciones de eficiencia de combustible en millas por galón de los 7 camiones.

# Vector de datos de mediciones de eficiencia de combustible
x <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)
# Realizar el remuestreo (bootstrap) de tamaño 7000 con reemplazo
boot <- sample(x, 7000, replace = TRUE)
# Crear una matriz de 1000 filas y 7 columnas a partir del remuestreo
b <- matrix(boot, nrow = 1000, ncol = 7, byrow = TRUE)
# Calcular la media de cada fila de la matriz, es decir, la media de cada remuestreo
mx <- apply(b, 1, mean)

Método 1

# Calcular los cuantiles de la distribución de las medias remuestreadas
metodo1 <- quantile(mx, probs=c(0.025, 0.975))
# El resultado método1 contiene los cuantiles correspondientes al percentil 2.5% y 97.5% de la distribución de las medias remuestreadas
metodo1
##     2.5%    97.5% 
## 4.748571 6.385714

Método 2

# Calcular un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional utilizando el método 2
metodo2 <- c(2 * mean(mx) - metodo1[2], 2 * mean(mx) - metodo1[1])
# El resultado metodo2 contiene los límites inferior y superior del intervalo de confianza del 95% para la media poblacional
metodo2
##    97.5%     2.5% 
## 4.621777 6.258920

Analisis

Realización de histograma para comparar los metodos utilizados

hist(mx, las=1, 
     main="Comparación Método 1 y Método 2", 
     xlim = c(4,8),
     xlab = "Valor",
     ylim = c(0,200),
     ylab = "Frecuencia", 
     col="yellow")

abline(v=metodo1, col="brown",lwd=2, lty=2)
abline(v=metodo2, col="cyan",lwd=2, lty=2)
legend("topright", legend=c("Método 1", "Método 2"), col=c("brown", "cyan"), lwd=2, lty=2)

Conclusiones.

Al considerar la técnica de remuestreo bootstrap para la construcción de intervalos de confianza según los métodos 1 y 2 de estimación, se puede apreciar en la gráfica que el segundo estimador corrige el intervalo de confianza. Según análisis, ambos métodos parecen confiables, ya que los intervalos de confianza del Método 1 y Método 2 se superponen considerablemente, sugiriendo una consistencia en las estimaciones.