#Exercise 1.
1 Choose a number U from the unit interval [0, 1] with uniform distribution. Find the cumulative distribution and density for the random variables:
# Define the PDF for U (uniform distribution on [0, 1])
f_U <- function(u) {
ifelse(0 <= u & u <= 1, 1, 0)
}
# Define the transformation function for Y = U + 2
transform_U_to_Y1 <- function(u) {
y <- u + 2
return(y)
}
# Compute the PDF for Y = U + 2
f_Y1 <- function(y) {
ifelse(2 <= y & y <= 3, 1, 0)
}
# Compute the CDF for Y = U + 2
F_Y1 <- function(y) {
ifelse(y < 2, 0, ifelse(2 <= y & y <= 3, y - 2, 1))
}
# Example usage:
y_values <- seq(2, 3, by = 0.01)
pdf_values <- f_Y1(y_values)
cdf_values <- F_Y1(y_values)
# Print the results
cat("PDF for Y = U + 2:\n")## PDF for Y = U + 2:print(data.frame(Y = y_values, PDF = pdf_values))## Y PDF
## 1 2.00 1
## 2 2.01 1
## 3 2.02 1
## 4 2.03 1
## 5 2.04 1
## 6 2.05 1
## 7 2.06 1
## 8 2.07 1
## 9 2.08 1
## 10 2.09 1
## 11 2.10 1
## 12 2.11 1
## 13 2.12 1
## 14 2.13 1
## 15 2.14 1
## 16 2.15 1
## 17 2.16 1
## 18 2.17 1
## 19 2.18 1
## 20 2.19 1
## 21 2.20 1
## 22 2.21 1
## 23 2.22 1
## 24 2.23 1
## 25 2.24 1
## 26 2.25 1
## 27 2.26 1
## 28 2.27 1
## 29 2.28 1
## 30 2.29 1
## 31 2.30 1
## 32 2.31 1
## 33 2.32 1
## 34 2.33 1
## 35 2.34 1
## 36 2.35 1
## 37 2.36 1
## 38 2.37 1
## 39 2.38 1
## 40 2.39 1
## 41 2.40 1
## 42 2.41 1
## 43 2.42 1
## 44 2.43 1
## 45 2.44 1
## 46 2.45 1
## 47 2.46 1
## 48 2.47 1
## 49 2.48 1
## 50 2.49 1
## 51 2.50 1
## 52 2.51 1
## 53 2.52 1
## 54 2.53 1
## 55 2.54 1
## 56 2.55 1
## 57 2.56 1
## 58 2.57 1
## 59 2.58 1
## 60 2.59 1
## 61 2.60 1
## 62 2.61 1
## 63 2.62 1
## 64 2.63 1
## 65 2.64 1
## 66 2.65 1
## 67 2.66 1
## 68 2.67 1
## 69 2.68 1
## 70 2.69 1
## 71 2.70 1
## 72 2.71 1
## 73 2.72 1
## 74 2.73 1
## 75 2.74 1
## 76 2.75 1
## 77 2.76 1
## 78 2.77 1
## 79 2.78 1
## 80 2.79 1
## 81 2.80 1
## 82 2.81 1
## 83 2.82 1
## 84 2.83 1
## 85 2.84 1
## 86 2.85 1
## 87 2.86 1
## 88 2.87 1
## 89 2.88 1
## 90 2.89 1
## 91 2.90 1
## 92 2.91 1
## 93 2.92 1
## 94 2.93 1
## 95 2.94 1
## 96 2.95 1
## 97 2.96 1
## 98 2.97 1
## 99 2.98 1
## 100 2.99 1
## 101 3.00 1cat("\nCDF for Y = U + 2:\n")##
## CDF for Y = U + 2:print(data.frame(Y = y_values, CDF = cdf_values))## Y CDF
## 1 2.00 0.00
## 2 2.01 0.01
## 3 2.02 0.02
## 4 2.03 0.03
## 5 2.04 0.04
## 6 2.05 0.05
## 7 2.06 0.06
## 8 2.07 0.07
## 9 2.08 0.08
## 10 2.09 0.09
## 11 2.10 0.10
## 12 2.11 0.11
## 13 2.12 0.12
## 14 2.13 0.13
## 15 2.14 0.14
## 16 2.15 0.15
## 17 2.16 0.16
## 18 2.17 0.17
## 19 2.18 0.18
## 20 2.19 0.19
## 21 2.20 0.20
## 22 2.21 0.21
## 23 2.22 0.22
## 24 2.23 0.23
## 25 2.24 0.24
## 26 2.25 0.25
## 27 2.26 0.26
## 28 2.27 0.27
## 29 2.28 0.28
## 30 2.29 0.29
## 31 2.30 0.30
## 32 2.31 0.31
## 33 2.32 0.32
## 34 2.33 0.33
## 35 2.34 0.34
## 36 2.35 0.35
## 37 2.36 0.36
## 38 2.37 0.37
## 39 2.38 0.38
## 40 2.39 0.39
## 41 2.40 0.40
## 42 2.41 0.41
## 43 2.42 0.42
## 44 2.43 0.43
## 45 2.44 0.44
## 46 2.45 0.45
## 47 2.46 0.46
## 48 2.47 0.47
## 49 2.48 0.48
## 50 2.49 0.49
## 51 2.50 0.50
## 52 2.51 0.51
## 53 2.52 0.52
## 54 2.53 0.53
## 55 2.54 0.54
## 56 2.55 0.55
## 57 2.56 0.56
## 58 2.57 0.57
## 59 2.58 0.58
## 60 2.59 0.59
## 61 2.60 0.60
## 62 2.61 0.61
## 63 2.62 0.62
## 64 2.63 0.63
## 65 2.64 0.64
## 66 2.65 0.65
## 67 2.66 0.66
## 68 2.67 0.67
## 69 2.68 0.68
## 70 2.69 0.69
## 71 2.70 0.70
## 72 2.71 0.71
## 73 2.72 0.72
## 74 2.73 0.73
## 75 2.74 0.74
## 76 2.75 0.75
## 77 2.76 0.76
## 78 2.77 0.77
## 79 2.78 0.78
## 80 2.79 0.79
## 81 2.80 0.80
## 82 2.81 0.81
## 83 2.82 0.82
## 84 2.83 0.83
## 85 2.84 0.84
## 86 2.85 0.85
## 87 2.86 0.86
## 88 2.87 0.87
## 89 2.88 0.88
## 90 2.89 0.89
## 91 2.90 0.90
## 92 2.91 0.91
## 93 2.92 0.92
## 94 2.93 0.93
## 95 2.94 0.94
## 96 2.95 0.95
## 97 2.96 0.96
## 98 2.97 0.97
## 99 2.98 0.98
## 100 2.99 0.99
## 101 3.00 1.00# Define the transformation function for Y = U^3
transform_U_to_Y2 <- function(u) {
y <- u^3
return(y)
}
# Compute the PDF for Y = U^3
f_Y2 <- function(y) {
ifelse(0 < y & y < 1, 1 / (3 * y^(2/3)), 0)
}
# Compute the CDF for Y = U^3
F_Y2 <- function(y) {
ifelse(0 < y & y < 1, 1 - y^(1/3), 0)
}
# Example usage:
y_values <- seq(0, 1, by = 0.01)
pdf_values <- f_Y2(y_values)
cdf_values <- F_Y2(y_values)
# Print the results
cat("PDF for Y = U^3:\n")## PDF for Y = U^3:print(data.frame(Y = y_values, PDF = pdf_values))## Y PDF
## 1 0.00 0.0000000
## 2 0.01 7.1814490
## 3 0.02 4.5240294
## 4 0.03 3.4524806
## 5 0.04 2.8499599
## 6 0.05 2.4560210
## 7 0.06 2.1749265
## 8 0.07 1.9625168
## 9 0.08 1.7953622
## 10 0.09 1.6597795
## 11 0.10 1.5471963
## 12 0.11 1.4519454
## 13 0.12 1.3701178
## 14 0.13 1.2989223
## 15 0.14 1.2363081
## 16 0.15 1.1807317
## 17 0.16 1.1310073
## 18 0.17 1.0862075
## 19 0.18 1.0455956
## 20 0.19 1.0085784
## 21 0.20 0.9746726
## 22 0.21 0.9434797
## 23 0.22 0.9146683
## 24 0.23 0.8879602
## 25 0.24 0.8631201
## 26 0.25 0.8399474
## 27 0.26 0.8182698
## 28 0.27 0.7979388
## 29 0.28 0.7788253
## 30 0.29 0.7608168
## 31 0.30 0.7438144
## 32 0.31 0.7277311
## 33 0.32 0.7124900
## 34 0.33 0.6980225
## 35 0.34 0.6842678
## 36 0.35 0.6711713
## 37 0.36 0.6586839
## 38 0.37 0.6467617
## 39 0.38 0.6353646
## 40 0.39 0.6244567
## 41 0.40 0.6140052
## 42 0.41 0.6039804
## 43 0.42 0.5943550
## 44 0.43 0.5851041
## 45 0.44 0.5762049
## 46 0.45 0.5676366
## 47 0.46 0.5593799
## 48 0.47 0.5514170
## 49 0.48 0.5437316
## 50 0.49 0.5363085
## 51 0.50 0.5291337
## 52 0.51 0.5221941
## 53 0.52 0.5154777
## 54 0.53 0.5089731
## 55 0.54 0.5026699
## 56 0.55 0.4965583
## 57 0.56 0.4906292
## 58 0.57 0.4848739
## 59 0.58 0.4792845
## 60 0.59 0.4738535
## 61 0.60 0.4685737
## 62 0.61 0.4634386
## 63 0.62 0.4584419
## 64 0.63 0.4535777
## 65 0.64 0.4488406
## 66 0.65 0.4442252
## 67 0.66 0.4397267
## 68 0.67 0.4353403
## 69 0.68 0.4310617
## 70 0.69 0.4268868
## 71 0.70 0.4228114
## 72 0.71 0.4188320
## 73 0.72 0.4149449
## 74 0.73 0.4111467
## 75 0.74 0.4074343
## 76 0.75 0.4038046
## 77 0.76 0.4002546
## 78 0.77 0.3967817
## 79 0.78 0.3933831
## 80 0.79 0.3900563
## 81 0.80 0.3867991
## 82 0.81 0.3836090
## 83 0.82 0.3804838
## 84 0.83 0.3774215
## 85 0.84 0.3744202
## 86 0.85 0.3714777
## 87 0.86 0.3685925
## 88 0.87 0.3657626
## 89 0.88 0.3629864
## 90 0.89 0.3602622
## 91 0.90 0.3575887
## 92 0.91 0.3549641
## 93 0.92 0.3523873
## 94 0.93 0.3498566
## 95 0.94 0.3473710
## 96 0.95 0.3449290
## 97 0.96 0.3425295
## 98 0.97 0.3401712
## 99 0.98 0.3378532
## 100 0.99 0.3355742
## 101 1.00 0.0000000cat("\nCDF for Y = U^3:\n")##
## CDF for Y = U^3:print(data.frame(Y = y_values, CDF = cdf_values))## Y CDF
## 1 0.00 0.000000000
## 2 0.01 0.784556531
## 3 0.02 0.728558238
## 4 0.03 0.689276749
## 5 0.04 0.658004811
## 6 0.05 0.631596850
## 7 0.06 0.608513236
## 8 0.07 0.587871470
## 9 0.08 0.569113062
## 10 0.09 0.551859525
## 11 0.10 0.535841117
## 12 0.11 0.520858014
## 13 0.12 0.506757585
## 14 0.13 0.493420298
## 15 0.14 0.480750590
## 16 0.15 0.468670715
## 17 0.16 0.457116477
## 18 0.17 0.446034174
## 19 0.18 0.435378383
## 20 0.19 0.425110292
## 21 0.20 0.415196452
## 22 0.21 0.405607805
## 23 0.22 0.396318926
## 24 0.23 0.387307432
## 25 0.24 0.378553499
## 26 0.25 0.370039475
## 27 0.26 0.361749570
## 28 0.27 0.353669593
## 29 0.28 0.345786738
## 30 0.29 0.338089405
## 31 0.30 0.330567050
## 32 0.31 0.323210055
## 33 0.32 0.316009621
## 34 0.33 0.308957677
## 35 0.34 0.302046795
## 36 0.35 0.295270127
## 37 0.36 0.288621339
## 38 0.37 0.282094565
## 39 0.38 0.275684356
## 40 0.39 0.269385643
## 41 0.40 0.263193700
## 42 0.41 0.257104116
## 43 0.42 0.251112761
## 44 0.43 0.245215769
## 45 0.44 0.239409508
## 46 0.45 0.233690568
## 47 0.46 0.228055737
## 48 0.47 0.222501990
## 49 0.48 0.217026472
## 50 0.49 0.211626484
## 51 0.50 0.206299474
## 52 0.51 0.201043026
## 53 0.52 0.195854848
## 54 0.53 0.190732767
## 55 0.54 0.185674715
## 56 0.55 0.180678729
## 57 0.56 0.175742940
## 58 0.57 0.170865566
## 59 0.58 0.166044908
## 60 0.59 0.161279347
## 61 0.60 0.156567335
## 62 0.61 0.151907391
## 63 0.62 0.147298102
## 64 0.63 0.142738112
## 65 0.64 0.138226124
## 66 0.65 0.133760895
## 67 0.66 0.129341231
## 68 0.67 0.124965988
## 69 0.68 0.120634066
## 70 0.69 0.116344408
## 71 0.70 0.112095998
## 72 0.71 0.107887860
## 73 0.72 0.103719051
## 74 0.73 0.099588665
## 75 0.74 0.095495830
## 76 0.75 0.091439704
## 77 0.76 0.087419473
## 78 0.77 0.083434355
## 79 0.78 0.079483592
## 80 0.79 0.075566453
## 81 0.80 0.071682233
## 82 0.81 0.067830248
## 83 0.82 0.064009838
## 84 0.83 0.060220363
## 85 0.84 0.056461204
## 86 0.85 0.052731763
## 87 0.86 0.049031459
## 88 0.87 0.045359729
## 89 0.88 0.041716029
## 90 0.89 0.038099828
## 91 0.90 0.034510615
## 92 0.91 0.030947892
## 93 0.92 0.027411174
## 94 0.93 0.023899992
## 95 0.94 0.020413891
## 96 0.95 0.016952428
## 97 0.96 0.013515170
## 98 0.97 0.010101701
## 99 0.98 0.006711612
## 100 0.99 0.003344507
## 101 1.00 0.000000000