Estadística Inferencial

Tabla de contenido

• Estimación por intervalos de la media poblacional
  • Intervalo de confianza para la media \(\mu\), \(\sigma^2\) conocida
  • Simulación de intervalos de confianza para la media \(\mu\), \(\sigma^2\) conocida
  • Intervalo de confianza para la media \(\mu\), \(\sigma^2\) desconocida y \(n\) pequeño (\(n < 30\))
  • Ejemplos
  • Ejercicios

Intervalo de confianza para la media \(\mu\), \(\sigma^2\) conocida

El método general para construir intervalos de confianza es el siguiente llamado método del pivote:

Supongamos el siguiente caso particular. Sea \(x_1, x_2,\dots, x_n\), una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de una variable aleatoria \(X\), tal que,

\[X \rightarrow N(\mu,\sigma^2)\]

Sea \(\sigma^2\) conocido. Queremos construir un intervalo de confianza para el parámetro \(\mu\) con un nivel de confianza de \(1-\alpha\) y significancia \(\alpha\).

Intervalo de confianza para la media \(\mu\), \(\sigma^2\) conocida

Intervalo de confianza para la media \(\mu\), \(\sigma^2\) conocida

De lo anterior, podemos concluir que un intervalo de confianza para la media \(\mu\), con varianza \(\sigma^2\) conocida y con nivel de confianza de \(1-\alpha\) es:

\[\boldsymbol{\large{\left(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)}}\]

Observación: al valor \(\varepsilon = z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\), se le llama el error del intervalo.

Ejemplo 1

La variable \(X\) representa el precio (en miles de euros) de la vivienda de alquiler en Madrid, la cual se distribuye normal, con media desconocida \(\mu\) y varianza conocida \(\sigma^2 = 25\). Se quiere construir un intervalo de confianza para la media \(\mu\) del precio; para esto, se toma una muestra aleatoria de 40 viviendas y se optiene una media muestral de \(\bar{x}= 82.5\). Calcule un intervalo de confianza al 95%.

Solución

Solución en R

Construyendo el código

n = 40    # El tamaño de la muestra
xbar = 82.5 # la media muestral
sd = sqrt(25)   # La desviación estándar poblacional
nivel_conf = 0.95 # nivel de confianza

error.est = sd/sqrt(n) # Calculamos el error estándar
error = qnorm(0.975, mean=0, sd=1) * error.est # error del intervalo

Linf <- xbar - error # Limite inferior del intervalo
Lsup <- xbar + error # Limite superior del intervalo

cat("Un intervalo de confianza para \U03BC, al 95% es: (",round(Linf,4), "," , round(Lsup,4),")")

Usando la librería BSDA

library(BSDA)

zsum.test(mean.x = 82.5, 
          sigma.x = 5, 
          n.x = 40, 
          conf.level = 0.95)

Simulación de intervalos de confianza para la media \(\mu\), \(\sigma^2\) conocida

Sea \(X\) = “Estatura de los hombres en Colombia”. Supongamos que \(X \rightarrow N(\mu =172,\sigma^2 = 6.25)\). Veamos una simulación para el problema de los intervalos de confianza bajo estos supuestos. Los pasos a seguir son lo siguientes.

1. Generemos 100 muestras de tamaño \(n=5000\), de la variable \(X\) de la población, donde \(X \rightarrow N(\mu =172,\sigma^2 = 6.25)\)).
2. Para cada una de estas 100 muestras, calcule lo siguiente:
   • Media \(\bar{x}\)
   • Sesgo absoluto \(|\bar{x} - \mu|\)
   • Error estándar \(SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
   • Límites inferior y superior del intervalo de confianza al 90%
3. Cree un gráfico de los 100 intervalos generados.

Solución

1. Para la variable \(X\), generemos 100 muestras de tamaño \(n=5000\) de la población \(X \rightarrow N(\mu = 172,\sigma^2 = 6.25)\)

#set.seed(1234)

library(magrittr)
library(knitr)
library(kableExtra)
require(plyr)
require(ggplot2)

n = 5000
mu = 172
sigma = sqrt(6.25)
muestras <- rlply(100, rnorm(n, mean = mu, sd = sigma))

2. Para cada muestra, encontremos Media, Sesgo absoluto, Error estándar, límites inferior y superior del intervalo de confianza.

info <- function(x){ 
  M <- mean(x)
  DF <- length(x) - 1
  SE <- sigma/ sqrt(length(x))
  INT <- qt(.95, DF) * SE
  return(c(M, M - mu, SE, M - INT, M + INT))
}

formato <- c("Media" = 0, "Sesgo" = 0, "Err.Est" = 0, "Linf" = 0, "Lsup" = 0)
resultados <- muestras %>%
  vapply(., info, formato) %>%
  t()

Solución

Ahora veamos cuales intervalos contienen la media poblacional \(\mu\)

resultados <- resultados %>%
  as.data.frame() %>%
  mutate(Contiene  = Linf < mu & mu < Lsup)

media_contiene = mean(resultados$Contiene)
resultados$Contiene = ifelse(resultados$Contiene == TRUE, "Si", "No")

resultados %>% 
  kable %>%
  kable_styling("striped", full_width = F) %>% 
 scroll_box(width = "1500px", height = "400px")

La proporción de intervalos que contienen el valor real de la media poblacional \(\mu\).

media_contiene

[1] 0.9

Solución

3. Gráfico de los 100 intervalos de confianza, al 90%.

ggplot(resultados, aes(y=Media, x=1:100)) + 
  geom_segment(aes(x = -2, xend = 102, y = 172, yend = 172), color = "darkblue", size = 1.2)+
  geom_pointrange(aes(ymin = resultados$Linf, ymax = resultados$Lsup, color = Contiene), size = 0.6) + 
  scale_color_manual(values=c("#57D871", "#EA3046"),
                     name="Contiene \U03BC",
                     breaks=c("Si", "No"),
                     labels=c("Si", "No")) +
  geom_text(x=-4, y=172, label="\U03BC", size= 10) + 
  labs(title = "Intervalo al 90% de Confianza\npara la media poblacional \U03BC",
       x = "Simulación  1-100", 
       y = "(\U0078\U0304 - \U03B5, \U0078\U0304 + \U03B5)")+
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5), text=element_text(size=22))

Intervalo de confianza para la media \(\mu\), \(\sigma^2\) desconocida y \(n\) pequeño (\(n < 30\))

Análogamente, del análisis anterior, si cambiamos \(\sigma\) por \(s\) y \(Z_{\frac{\alpha}{2}}\) por \(t_{(n-1,\frac{\alpha}{2})}\), encontramos un intervalo de confianza para la media \(\mu\), con varianza \(\sigma^2\) desconocida, \(n\) pequeño (\(n <30\)) y con nivel de confianza de \(1-\alpha\) es:

\[\boldsymbol{\large{\left(\bar{x}-t_{(n-1,\frac{\alpha}{2})}\frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + t_{(n-1,\frac{\alpha}{2})} \frac{s}{\sqrt{n}} \right)}}\]

Observación: al valor \(\varepsilon = t_{(n-1,\frac{\alpha}{2})} \frac{s}{\sqrt{n}}\), se le llama el error del intervalo.

Ejemplo 2

Se hicieron 10 mediciones sobre la resistencia de cierto tipo de alambre y se encontró una media de 10.48 ohms y una desviación estandar de 1.36 ohms. Si se sabe que la resistencia del alambre sigue una distribución normal, calcule un intervalo de confianza para la media poblacional del alambre, usando un 90% de nivel de confianza.

Solución

library(BSDA)

tsum.test(mean.x = 10.48, 
          s.x = 1.36, 
          n.x = 10, 
          conf.level = 0.90)

Ejemplo 3

La edad de los alumnos que el año pasado se matricularon en alguno de los cursos de verano de la Universidad Tecnológica de Bolivar sigue una distribución normal con desviación típica de 7 años. Una muestra aleatoria de 150 alumnos ha dado como resultado una edad media de 23.4 años.

1. Obtener el intervalo de confianza del 94% para la media de edad de todos los matriculados.
2. ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra si deseamos que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 92% sea de 0.5?

Ejercicios

1. De una población normalmente distribuida, se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño 25, encontrando que el promedio y la desviación estandar de la muestra son: 108 y 10, respectivamente.

   1. ¿Cuál es el margen de error para un intervalo al nivel de confianza del 98%?
   2. Encuentre los límites superior e inferior para construir un intervalo de confianza para el inciso a.
   3. ¿Cuál es el intervalo de confianza de acuerdo a los incisos a. y b.
   4. Construya un intervalo de confianza al 95% para la media.
   5. Construya un intervalo de confianza al 90% para la media.
   6. Compare sus resultados en c., d. y e. ¿Qué sucede con el margen de error cuando se disminuye el nivel de confianza?

2. Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes siguen una distribución normal. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad una muestra de 20 alumnos ha proporcionado las siguientes puntuaciones:

   11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9, 14, 9, 17, 24, 19, 10, 17, 17, 8, 23

   A un nivel de confianza del 95%, calcule un intervalo de confianza para la puntuación media del test. Interprete el resultado.

Ejercicios

3. Se estima que el tiempo de reacción a un estímulo de cierto dispositivo electrónico está distribuido normalmente con desviación estándar de 0.05 segundos. ¿Cuál es el número de mediciones temporales que deberá hacerse para que la confianza de que el error de la estimación de la esperanza no exceda de 0.01 sea del 95%?