Estadística Inferencial

Problema

• Supogamos que no conocemos los verdaderos valores de los parámetros \(\theta_i\).
• Nuestro objetivo es encontrar una función de los valores muestrales de \(X\), que proporcione un valor que aproxime al máximo el verdadero valor de cada \(\theta_i\).

Solución

Tomamos una muestra aleatoria, \(x_1, x_2, \dots, x_{n}\), de tamaño \(n\) y buscamos una función \(u\), tal que,

\[u(x_1, x_2, \dots, x_{n}) = \theta\]

\(u\), es una función que hace corresponder los valores de la muestra \(x_1, x_2, \dots, x_{n}\) con los “verdaderos” valores de los parámetros \(\theta_i\).
\(u\), recibe el nombre de estimador de \(\boldsymbol \theta\).

• Sea \(x_1, x_2, \dots, x_{n}\) una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de la población; entonces

\[u(x_1, x_2, \dots, x_{n}) = \hat{\boldsymbol \theta}\] Donde \(u\), es el estimador de \(\boldsymbol \theta\).

Observaciones

• \(u(x_1, x_2, \dots, x_{n})\) se llama estimador de \(\boldsymbol \theta\)
• \(\hat{\boldsymbol \theta}\) se llama estimación de \(\boldsymbol \theta\)
• \(\boldsymbol \theta\) es un parámetro de la población
• \(u(x_1, x_2, \dots, x_{n})\) es un estadístico de la muestra
• \(\hat{\boldsymbol \theta}\) es el valor del parámetro \(\boldsymbol \theta\) estimado por el estadístico \(u\).

Solución

Un estimador del parámetro \(\mu\), sería \(\bar{x}\). En efecto,

\[\begin{align*} u: \mathbb{R}& \Rightarrow \mathbb{R}\\ x_1, x_2, \dots, x_n & \Rightarrow u(x_1, x_2, \dots, x_n) = \hat{ \mu} \end{align*}\]

Es decir, en particular tenemos que:

\[\begin{align*} u: \mathbb{R}& \Rightarrow \mathbb{R}\\ x_1, x_2, \dots, x_n & \Rightarrow u(x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{\sum x_i}{n} = \bar{x} \end{align*}\]

Así,

• \(\frac{\sum x_i}{n}\) es un estimador de \(\mu\)
• \(\bar{x}^*\) se llama estimación puntual de \(\mu\)

Observación

• Un estimador puntual es “mejor y bueno”, si es preciso, insesgado y consistente; es decir, si satisface la:
  • Precisión (varianza): se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud.
  • Exactitud (sesgo): se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación.
  • Consistencia (\(n \rightarrow \infty\)): a medida que el tamaño de la muestra crece, el estimador se aproxima cada vez más al valor real del parámetro.

Solución

Un estimador del parámetro \(\sigma^2\), sería \(S^2\). En efecto,

\[\begin{align*} u: \mathbb{R}& \Rightarrow \mathbb{R}\\ x_1, x_2, \dots, x_n & \Rightarrow u(x_1, x_2, \dots, x_n) = S^2 \end{align*}\]

Es decir, en particular tenemos que:

\[\begin{align*} u: \mathbb{R}& \Rightarrow \mathbb{R}\\ x_1, x_2, \dots, x_n & \Rightarrow u(x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{\sum (x_i - \bar{x}) ^2}{n} = S^2 \end{align*}\]

Así,

• \(\frac{\sum (x_i - \bar{x}) ^2}{n}\) es un estimador de \(\sigma^2\)
• \(S^{2*}\) se llama estimación puntual de \(\sigma^2\)

Estimador \(\bar{x}\) de la media \(\mu\)

Pregunta

¿Es \(\bar{x} =\frac{\sum x_i}{n}\) un estimador preciso, insesgado y consistente para la media poblacional \(\mu\)?

Respuesta

SI

Pregunta

¿Es \(Me = Mediana\) un estimador preciso, insesgado y consistente para la mediana poblacional \(\mu\)?

Respuesta

¿?

Estimador \(S^2\) de la varianza \(\sigma^2\)

Pregunta

¿Es \(S^2 =\frac{\sum (x_i - \bar{x}) ^2}{n}\) un estimador preciso, insesgado y consistente para la varianza poblacional \(\sigma^2\)?

Respuesta

NO

Pregunta

¿Cuál sería un estimador preciso, insesgado y consistente para la varianza poblacional \(\sigma^2\)?

Respuesta

\(S^2 =\frac{\sum (x_i - \bar{x}) ^2}{n-1}\)

Preguntas

Sea \(X \rightarrow N(\mu, \sigma^2)\), generemos unas muestras y verifiquemos si los estimadores:

k = 100 # numero de muestras
n = 100 # tamano de la muestra
mu = 2 # media poblacional
varx = 4 # varianza poblacional
X = NULL
for(i in 1:k){
  X = cbind(X, rnorm(n, mean = mu, sd = sqrt(4)))
  }

1. \(\bar{x}\): media muestral
2. \(S^2_{n-1}\): cuasi-varianza muestral
3. \(S^2_{n}\): varianza muestral

son estimadores precisos, insesgados y consistentes.

Respuestas

1. Verifiquemos a \(\bar{x}\)

xbar = NULL
for(i in 1:k){
  xbar = c(xbar, mean(X[,i]))
  }

cat("E[\U0078\U0304] =", mean(xbar), "\n")
cat("E[\U0078\U0304]-\U03BC =", mean(xbar)-mu)

2. Verifiquemos a \(S^2_{n-1}\)

varx = NULL
for(i in 1:k){
  varx = c(varx, var(X[,i]))
  }

cat("E[S\U00B2] =", mean(varx), "\n")
cat("E[S\U00B2]-S\U00B2 =", mean(varx)-xvar)

3. Verifiquemos a \(S^2_{n}\)

varx1 = NULL
for(i in 1:k){
  varx1 = c(varx1, sum((X[,i]-mean(X[,i]))^2)/n)
  }

cat("E[S\U00B2] =", mean(varx1), "\n")
cat("E[S\U00B2]-S\U00B2 =", mean(varx1)-xvar)

Concluya en cada caso.

• Los extremos del intervalo son funciones \(f_1\) y \(f_2\) de la muestra y por tanto variables aleatorias. Es decir:

\[ \begin{align*} f_1(\theta, X) = & u(x_1,x_2, \cdots, x_{n}) - error \\ f_2(\theta, X) = & u(x_1,x_2, \cdots, x_{n}) + error \end{align*} \]

• El objetivo de los intervalos de confianza encontrar tales funciones de forma que con cierta “seguridad o confianza” se pueda afirmar que

\[f_1 \leqslant \theta \leqslant f_2\]

además, que las funciones \(f_1\) y \(f_2\) sean tales que

\[ p(f_1 \leqslant \theta \leqslant f_2)=1-\alpha \]

de esta manera, se puede decir que \(f_1\) y \(f_2\) determina un intervalo que tiene la probabilidad \(1-\alpha\) de contener al parámetro poblacional \(\theta\).

• Este intervalo recibe el nombre Intervalo de confianza con coeficiente de confianza \(1-\alpha\).
• Se desea que el coeficiente de confianza sea próximo a la unidad y que la amplitud del intervalo sea lo más pequeña posible.

En esta sección vamos a estudiar, dentro de la distribución Normal, los intervalos de confianza para los parámetros:

• media poblacional \(\mu\)
• varianza poblacional \(\sigma^2\)
• proporción poblacional \(p\).