Taller verificación de la normalidad diseño de un factor

Author

Maura Moreno - Isabella Petro - Isa Morelo - Yhony Vargas

Verificación gráfica

i	eij	ri	Pi	Zi
1	-0.302	-0.768	0.033	-1.834
2	-0.022	-0.578	0.100	-1.282
3	0.488	-0.442	0.167	-0.967
4	0.278	-0.418	0.233	-0.728
5	-0.442	-0.302	0.300	-0.524
6	0.002	-0.258	0.367	-0.341
7	0.472	-0.168	0.433	-0.168
8	-0.258	-0.022	0.500	0.000
9	-0.578	0.002	0.567	0.168
10	0.362	0.278	0.633	0.341
11	0.472	0.362	0.700	0.524
12	0.882	0.472	0.767	0.728
13	-4.180	0.472	0.833	0.967
14	-0.168	0.488	0.900	1.282
15	-0.768	0.882	0.967	1.834

donde:

\[Pi=\frac{i-0.5}{N}\]

\[Z_i= \phi^2{-1}\left(\frac{1-0.5}{N}\right)\]

Verificación gráfica del supuesto de normalidad usando R

library(readxl)
datos <- read_excel("datos taller 3 DE.xlsx")
datos$tipo <- as.factor(datos$tipo)

modelo <- lm(incremento~tipo, datos)
anova <- aov(modelo)
residuales <- anova$residuals

ri <- sort(residuales, index.return=F)
i <- c(1:15)
r <- sort(residuales,F)

#Pi
pi <- (i-0.5)/15

#Zi
zi <- qnorm(pi)

plot(ri, zi, 
     xlab = "Residuales",
     ylab = "Zi",
     main = "Gráfico cuantil - cuantil",
     pch = 16,
     col = "blue",
     cex = 1.2)
abline(lm(zi ~ ri), 
       col = "red",
       lwd = 2)

plot(ri, pi, 
     xlab = "Residuales",
     ylab = "Pi",
     main = "Gráfico cuantil - cuantil",
     pch = 16,
     col = "blue",
     cex = 1.2)
abline(lm(pi ~ ri), 
       col = "red",
       lwd = 2)

A partir de los gráficos se concluye que no debería haber sospecha sobre la normalidad en los datos, debido a que no se observa puntos en las esquinas de la línea que se separen de ella

Verificación analítica con Test de Shapiro-Wilk

Prueba de hipótesis

$H_0: e_{ij} \sim N(\mu,\sigma^2)$

$H_1: e_{ij} \nsim N(\mu,\sigma^2)$

Estadístico de prueba $W$

$a_i$	$x_{n-i+1}$	$x_i$	$x_{n-i+1}-x_{i}$	$a_i * (x_{n-i+1}- x_{i})$	Sumatoria	Sumatoria^2	W
0.515	0.882	-0.768	1.65	0.84975	1.7417228	3.033598312	0.96291
0.3306	0.488	-0.578	1.066	0.3524196	-	-	-
0.2495	0.472	-0.442	0.914	0.228043	-	-	-
0.1878	0.472	-0.418	0.89	0.167142	-	-	-
0.1353	0.362	-0.302	0.664	0.0898392	-	-	-
0.088	0.278	-0.258	0.536	0.047168	-	-	-
0.0433	0.002	-0.168	0.17	0.007361	-	-	-

$W=\frac{1}{(n-1)S^2}\left[\sum_{i=1}^{h}{a_i(x_{n-i+1}-x_i)}\right]^2=0.96291$

Estadístico teórico con $\alpha = 0.05$

$W_{\alpha-1} = W_{0.95} =0.980$

$W = 0.96291 \ngtr W_{0.95} = 0.980$
Conclución:

No existe evidencia estadística suficiente para rechazar $H_0$ , por tanto se concluye que los residuales tienen una distribución normal

Verificación del supuesto de normalidad con Test de Shapiro-Wilk usando R

Prueba de hipótesis

$H_0: e_{ij} \sim N(\mu,\sigma^2)$

$H_1: e_{ij} \nsim N(\mu,\sigma^2)$

shapiro.test(residuales)


    Shapiro-Wilk normality test

data:  residuales
W = 0.96303, p-value = 0.745

Estadístico de prueba $W$

$W=\frac{1}{(n-1)S^2}\left[\sum_{i=1}^{h}{a_i(x_{n-i+1}-x_i)}\right]^2=0.96303$
Estadístico teórico

$W_{0.95} =0.980$

$W = 0.96303 \ngtr W_{0.95} = 0.980$
Valor Critico

${p-value} = 0.745 \nless \alpha = 0.05$
Concluciones

No existe evidencia estadística suficiente para rechazar $H_0$, por lo que se concluye que los residuales proceden de distribución normal

Verificación analítica con Test de Kolmogorov-Smirnov

Prueba de Hipotesis

$H_0: e_{ij} \sim N(\mu,\sigma^2)$

$H_1: e_{ij} \nsim N(\mu,\sigma^2)$

i	$e_{ij}$	$X_i$	$p_i$	$Z_i$	$P(Zi)$	$D_1$	$D_2$	D	$C_a$	$K_n$	KS
1	-0.302	-0.768	0.066666667	-1.619103295	0.05271252	0.013954147	0.05271252	0.12108968	0.895	4.082452402	0.21923097
2	-0.022	-0.578	0.133333333	-1.218543886	0.111508679	0.021824654	0.044842012	-	-	-	-
3	0.488	-0.442	0.2	-0.931827678	0.175712794	0.024287206	0.042379461	-	-	-	-
4	0.278	-0.418	0.266666667	-0.8812307	0.189096483	0.077570184	0.010903517	-	-	-	-
5	-0.442	-0.302	0.333333333	-0.63667864	0.262167095	0.071166238	0.004499572	-	-	-	-
6	0.002	-0.258	0.4	-0.543917513	0.293249118	0.106750882	0.040084215	-	-	-	-
7	0.472	-0.168	0.466666667	-0.354178846	0.361602428	0.105064239	0.038397572	-	-	-	-
8	-0.258	-0.002	0.533333333	-0.004216415	0.498317899	0.035015434	0.031651232	-	-	-	-
9	-0.578	0.002	0.6	0.004216415	0.501682101	0.098317899	0.031651232	-	-	-	-
10	0.362	0.278	0.666666667	0.586081662	0.72108968	0.054423014	0.12108968	-	-	-	-
11	0.472	0.362	0.733333333	0.763171085	0.777319315	0.043985981	0.110652648	-	-	-	-
12	0.882	0.472	0.8	0.9950739	0.840149838	0.040149838	0.106816505	-	-	-	-
13	-0.418	0.472	0.866666667	0.9950739	0.840149838	0.026516828	0.040149838	-	-	-	-
14	-0.168	0.488	0.933333333	1.028805219	0.848214393	0.08511894	0.018452274	-	-	-	-
15	-0.768	0.882	1	1.859438941	0.968517527	0.031482473	0.035184193	-	-	-	-

De los resultados obtenidos:

$D= 0.1210$
Estadístico teórico

$KS=\frac{C_\alpha}{k(n)}=0.21923$
Concluciones

$D =0.1210 \ngtr KS =0.2192$

DS es menor a KS por lo tanto no existe evidencia estadística suficiente para rechazar $H_0$, lo que quiere decir que los residuales provienen de una distribución normal

Verificación analítica con Test de Kolmogorov-Smirnov usando R

library(nortest)
lillie.test(residuales)


    Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  residuales
D = 0.12107, p-value = 0.8019

De los resultados obtenidos:

$D= 0.12107$
$p-value=0.8019$
Estadístico teórico

$KS=\frac{C_\alpha}{k(n)}=0.21923$
Concluciones

$D =0.12107 \ngtr KS =0.21923$

DS es menor a KS por lo tanto no existe evidencia estadística suficiente para rechazar $H_0$, lo que quiere decir que los residuales provienen de una distribución normal