Problema 4

Actividad 2. Métodos y Simulación

Problema 4 - Estimacción Boostrap

Enunciado

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones.

• Los datos obtenidos son los siguientes: \(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24\) y \(4.45\)

• Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del \(95\%\) para la media de la eficiencia de combustible de esta población.

• No se tiene información de la distribución de los datos.

• El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del \(95\%\)

Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap \(X_1\). Después de anotado el valor se regresa \(X_1\) a la caja y se extrae el valor \(X_2\), regresándolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño \(n, X_1, X_2, ... ,X_n\), conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga \(k = 1000\)). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(X\bar{i}\), obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles \(P_{2.5}\) y \(P_{97.5}\). Existen dos métodos para estimarlo:

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. ¿Confiaría en estas estimaciones?

Nota

• Las muestras bootstrap se pueden obtener a partir de muestreo aleatorio con repetición (o también llamado con sustitución)
• Entregable : enlace en RPubs con informe 4
• funciones recomendadas : sample() , apply(), quantile()
• Problema tomado de Navidi(2006)

# Datos de la muestra original
x = c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)
# 1000 muestras de 7 eventos - boot sample
bs = sample(x,7000,replace = TRUE)
# Se construye la matriz de 1000 x 7
m = matrix(bs,nrow = 1000,ncol = 7) 
# Cálculo de las medias para cada fila
mm = apply(m,1,mean)  

Según los datos originales, se nota que no hay ningún valor entre 5 y 6, por lo tanto se puede deducir que no tiene una distribución normal, luego podemos aplicar el método bootstrap.

Método 1

\[\begin{align*} (P_{2.5} ; P_{97.5})\\ \end{align*}\]

Entonces, por el método 1 obtenemos

# Method 1 
ic1 = quantile(mm, probs = c(0.025, 0.975)) 
ic1

##     2.5%    97.5% 
## 4.748571 6.490143

Método 2

\[\begin{align*} (2\overline{X} - P_{97.5} ; 2\overline{X} - P_{2.5})\\ \end{align*}\]

# Method 2
ic2 = c(2 * mean(mm) - ic1[2], 2 * mean(mm) - ic1[1])
ic2

##    97.5%     2.5% 
## 4.635200 6.376771

Ahora vemos los dos resultados en el histograma. Las líneas de color naranja, corresponden a los límites del primer método, y las azul claro al segundo método.

Mediante el método 1, se obtuvo el intervalo (\(4.74 - 6.49\)) y mediante el método 2 se obtuvo (\(4.63 - 6.37\)). Se observa que mediante el método 1 el intervalo esta corrido un poco a la derecha

Se puede decir entonces que, con un \(95\%\) de confianza, el promedio de rendimiento de gasolina de los camiones, se encuentra, según el primer método, entre \(4.74\) y \(6.49\), y para el segundo método, entre \(4.63\) y \(6.37\). Según estos resultados, para el primer método el rendimiento es un poco mayor. En cualquier caso, dado que los valores son muy cercanos, se podría tomar cualquier método para sacar las conclusiones respectivas. En este caso, no sabemos si estos rendimientos son altos o bajos, es decir, si la conclusión pueda ser que los camiones necesitan mantenimiento, o si, de ser altos, el mantenimiento es el adecuado para los camiones y debe mantenerse.