Baca Data

anreg <- read.csv("C:/Users/faiza/Downloads/Tugas Individu.csv", sep = ";")
anreg
##     X  Y
## 1   2 54
## 2   5 50
## 3   7 45
## 4  10 37
## 5  14 35
## 6  19 25
## 7  26 20
## 8  31 16
## 9  34 18
## 10 38 13
## 11 45  8
## 12 52 11
## 13 53  8
## 14 60  4
## 15 65  6
y <- anreg$Y
x <- anreg$X
n <- nrow(data)
model <- lm(y~x, anreg)
summary(model)
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = anreg)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -7.1628 -4.7313 -0.9253  3.7386  9.0446 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 46.46041    2.76218   16.82 3.33e-10 ***
## x           -0.75251    0.07502  -10.03 1.74e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 5.891 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8856, Adjusted R-squared:  0.8768 
## F-statistic: 100.6 on 1 and 13 DF,  p-value: 1.736e-07

Eksplorasi Data

ybar <- mean(y)
plot(x,y)

Berdasarkan grafik titik yang diberikan, dapat disimpulkan bahwa korelasi antara variabel X dan Y tidak bersifat linear. Sebaliknya, pola hubungan antara X dan Y terlihat mengikuti bentuk eksponensial.

Uji Formal Normalitas:Kolmogorov-Smirnov Uji Ini memiliki hipotesis sebagai berikut, H0:N (sisaan menyebar Normal) H1:N (SIsaan tidak menyebar Normal)

library(nortest)
model_residu <- resid(model)
(norm_model <- lillie.test(model_residu))
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  model_residu
## D = 0.12432, p-value = 0.7701
ifelse(norm_model$p.value < 0.05, "Sisaan tidak menyebar normal", "Sisaan menyebar normal")
## [1] "Sisaan menyebar normal"

P-value yang lebih besar dari 0,05 menunjukkan bahwa kita tidak dapat menolak hipotesis nol (H0). Artinya, tidak terdapat cukup bukti dalam taraf signifikansi 5% untuk menyimpulkan bahwa sebaran sisaan tidak normal.

Homogenitas : Breusch-Pagan Uji ini memiliki hipotesis sebagai berikut, H0:var[ϵ]=σ2I (Ragam Homogen) H1:var[ϵ]≠σ2I (Ragam tidak Homogen)

library(lmtest)
## Warning: package 'lmtest' was built under R version 4.3.3
## Loading required package: zoo
## Warning: package 'zoo' was built under R version 4.3.3
## 
## Attaching package: 'zoo'
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric
(model_homogen <- bptest(model))
## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  model
## BP = 0.52819, df = 1, p-value = 0.4674
ifelse(model_homogen$p.value < 0.05, "Ragam tidak homogen", "Ragam homogen")
##              BP 
## "Ragam homogen"

P-value yang lebih besar dari 0,05 menandakan bahwa kita tidak dapat menolak hipotesis nol (H0). Oleh karena itu, dalam taraf signifikansi 5%, tidak terdapat bukti yang cukup untuk menyimpulkan bahwa variasi sisaan tidak homogen.

Autokorelasi

dwtest(model)
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model
## DW = 0.48462, p-value = 1.333e-05
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
acf(model$residuals)

Berdasarkan grafik yang disajikan, terlihat bahwa autokorelasi pada lag 1 mencapai 0,5, sedangkan pada lag 2 mencapai 0,4. Kedua nilai tersebut melewati batas kepercayaan 95%, menunjukkan bahwa autokorelasi pada lag 1 dan 2 memiliki signifikansi statistik. Hal ini menyarankan adanya ketidaksesuaian dengan asumsi Gauss-Markov, terutama dalam konteks asumsi non-autokorelasi. Temuan ini diperkuat oleh hasil p-test dari Uji Durbin-Watson, yang menunjukkan nilai kurang dari 0,05.

Penanganan Kondisi Tak Standar Transformasi Weighted Least Square

a <- abs(model$residuals)
b <- model$fitted.values
fit <- lm(a~b, anreg)
c <- 1 / fit$fitted.values^2
c
##          1          2          3          4          5          6          7 
## 0.03414849 0.03489798 0.03541143 0.03620311 0.03730067 0.03874425 0.04091034 
##          8          9         10         11         12         13         14 
## 0.04257072 0.04361593 0.04507050 0.04779711 0.05077885 0.05122749 0.05454132 
##         15 
## 0.05710924
plot(c)

model2 <- lm(y~x, data=anreg, weights = c)
plot(model2)

summary(model2)
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = anreg, weights = c)
## 
## Weighted Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.46776 -1.09054 -0.06587  0.77203  1.85309 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 45.41058    2.90674  15.623 8.35e-10 ***
## x           -0.71925    0.07313  -9.835 2.18e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.204 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8815, Adjusted R-squared:  0.8724 
## F-statistic: 96.73 on 1 and 13 DF,  p-value: 2.182e-07

Penggunaan Weighted Least Squares (WLS) belum dianggap efektif karena masih terdapat ketidakpenuhan terhadap asumsi Gauss-Markov.

TRANSFORMASI AKAR PADA x, y, ATAU X DAN Y

library(tidyverse)
## Warning: package 'tidyverse' was built under R version 4.3.3
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.3.2
## Warning: package 'readr' was built under R version 4.3.3
## Warning: package 'dplyr' was built under R version 4.3.2
## Warning: package 'stringr' was built under R version 4.3.2
## Warning: package 'forcats' was built under R version 4.3.3
## Warning: package 'lubridate' was built under R version 4.3.3
## ── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
## ✔ dplyr     1.1.4     ✔ readr     2.1.5
## ✔ forcats   1.0.0     ✔ stringr   1.5.1
## ✔ ggplot2   3.4.4     ✔ tibble    3.2.1
## ✔ lubridate 1.9.3     ✔ tidyr     1.3.0
## ✔ purrr     1.0.2     
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
## ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors
library(ggridges)
## Warning: package 'ggridges' was built under R version 4.3.3
library(GGally)
## Warning: package 'GGally' was built under R version 4.3.3
## Registered S3 method overwritten by 'GGally':
##   method from   
##   +.gg   ggplot2
library(plotly)
## Warning: package 'plotly' was built under R version 4.3.3
## 
## Attaching package: 'plotly'
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     last_plot
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     filter
## The following object is masked from 'package:graphics':
## 
##     layout
library(dplyr)
library(lmtest)
library(stats)

anreg2 <- anreg %>%
  mutate(y = sqrt(y)) %>%
  mutate(x = sqrt(x))
model3 <- lm(y~x, data = anreg2)
plot(x=anreg2$x, y=anreg2$y)

plot(model3)

summary(model3)
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = anreg2)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.42765 -0.17534 -0.05753  0.21223  0.46960 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  8.71245    0.19101   45.61 9.83e-16 ***
## x           -0.81339    0.03445  -23.61 4.64e-12 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.2743 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9772, Adjusted R-squared:  0.9755 
## F-statistic: 557.3 on 1 and 13 DF,  p-value: 4.643e-12

UJI AUTOKORELASI MODEL REGRESI TRANSFORMASI

dwtest(model3)
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model3
## DW = 2.6803, p-value = 0.8629
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
model <- lm(y~x, data = anreg2)
plot (x = anreg2$x, y = anreg2$y)

plot(model3)

summary(model3)
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = anreg2)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.42765 -0.17534 -0.05753  0.21223  0.46960 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  8.71245    0.19101   45.61 9.83e-16 ***
## x           -0.81339    0.03445  -23.61 4.64e-12 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.2743 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9772, Adjusted R-squared:  0.9755 
## F-statistic: 557.3 on 1 and 13 DF,  p-value: 4.643e-12
dwtest(model3)
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model3
## DW = 2.6803, p-value = 0.8629
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Kesimpulan

Nilai p yang lebih besar dari 0.05 menunjukkan bahwa tidak ada cukup bukti untuk menolak hipotesis nol, yang menyatakan bahwa tidak ada autokorelasi. Dari hasil transformasi tersebut, dapat disimpulkan bahwa transformasi akar Y berhasil meningkatkan efektivitas persamaan regresi. Model regresi setelah transformasi dapat dirumuskan sebagai berikut:

Y∗=8.71245−0.81339X1+ϵ

Y∗=√y

X∗=√x

Dengan melakukan transformasi balik, kita mendapatkan:

Y=(8.71245−0.81339X^1/2)2+ϵ

Interpretasi model menunjukkan bahwa terdapat korelasi terbalik antara Y dan akar kuadrat dari X, dengan hubungan bersifat kuadratik. Semakin besar nilai akar kuadrat dari X, semakin kecil rata-rata nilai Y, dan tingkat penurunan ini semakin meningkat. Puncak kurva menunjukkan nilai rata-rata maksimum Y yang dapat dicapai untuk nilai tertentu dari X. Konstanta 8.71245 mewakili nilai Y ketika X sama dengan 0. Koefisien -0.81339 merupakan koefisien regresi untuk variabel X. Nilai negatif menandakan hubungan terbalik antara Y dan akar kuadrat dari X. Dengan kata lain, semakin besar akar kuadrat dari X, semakin kecil nilai Y. Pangkat dua pada koefisien regresi menunjukkan bahwa hubungan antara Y dan X bersifat kuadratik. Artinya, perubahan Y tidak proporsional dengan perubahan X, melainkan berubah dengan tingkat peningkatan yang semakin tinggi.