Taller Unidad 2 Métodos y simulación
Carolina Samacá Romero, Jorge Magaldi Alarcón, Nestor Muñoz Rojas
Ejercicio 1: Estimación del valor de \(\pi\)
La siguiente figura sugiere como estimar el valor de \(\pi\) con una simulación. En la figura, un circuito con un área igual a \(\pi\)/4 está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria n puntos dentro del cuadrado. La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la fracción del área del cuadrado que abarca a este, la cual es \(\pi\)/4. Por tanto, se puede estimar el valor de \(\pi\)/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, para obtener la estimación de \(\pi\)/4. De este último resultado se encontrar una aproximación para el valor de \(\pi\).
Pasos sugeridos:
Genere n coordenadas x: X1, . . . , Xn. Utilice la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1. La distribución uniforme genera variables aleatorias que tienen la misma probabilidad de venir de cualquier parte del intervalo (0,1).
Genere 1000 coordenadas y: Y1,…,Yn, utilizando nuevamente la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1.
Cada punto (Xi,Yi) se encuentra dentro del círculo si su distancia desde el centro (0.5,0.5) es menor a 0.5. Para cada par (Xi,Yi) determine si la distancia desde el centro es menor a 0.5. Esto último se puede realizar al calcular el valor (Xi−0.5)2 + (Yi−0.5)2, que es el cuadrado de la distancia, y al determinar si es menor que 0.25.
¿Cuántos de los puntos están dentro del círculo? ¿Cuál es su estimación de \(\pi\)?
Desarrollo ejercicio 1:
Teniendo en cuenta que el área de un círculo está calculado por \(\pi\) * r2 y que el área del cuadrado que contiene el círculo esta dado por la fórmula (2r)2 donde r = 0.5, tendriamos que:
área del círculo / área del cuadrado = \(\pi\) * r2 /4 * r2 = \(\pi\) / 4
Por lo tanto el valor de \(\pi\) es aproximadamente de 4 * puntos simulados dentro del círculo / puntos totales simulados
Siguiendo las recomendaciones para esto, se define la siguiente función:
estimate_pi_value <- function(seed = 50, iterations = 1000){
set.seed(seed)
x <- runif(iterations, min = 0, max = 1) # Recomendación punto a, distribución uniforme para x entre 0 y 1
y <- runif(iterations, min = 0, max = 1) # Recomendación punto b, distribución uniforme para y entre 0 y 1
point <- (x-0.5)^2 + (y -0.5)^2 # la distancia se encuentra definido por la siguiente formula
in_circle = as.numeric(point<=0.25)
#in_circle <- which(point <= 0.25) # Recomendación punto c, cuales son menores al cuadrado del radio
total_points <- sum(in_circle)
#total_points <- length(in_circle) # Número de puntos dentro del círculo
estimated_pi <- 4 * total_points / iterations # 4 por la proporcion de puntos es el valor de pi
cat("El total de puntos dentro del círculo:", total_points)
return(estimated_pi) # Devuelve el valor
}El valor estimado de \(\pi\) es:
estimate_pi_value(50, 1000)## El total de puntos dentro del círculo: 787## [1] 3.148Si se aplica con un número de iteraciones más grande se encuentra una precisión más alta:
estimate_pi_value(50, 100000000)## El total de puntos dentro del círculo: 78539206## [1] 3.141568Ejercicio 2: Propiedades de los estimadores
La simulación ayuda a entender y validar las propiedades de los estimadores estadísticos como son insesgadez, eficiencia y la consistencia principalmente. El siguiente problema permite evidenciar las principales características de un grupo de estimadores propuestos para la estimación de un parámetro asociado a un modelo de probabilidad.
Sean X1, X2, X3 y X4, una muestra aleatoria de tamaño n=4 cuya población la conforma una distribución exponencial con parámetro θ desconocido. Determine las características de cada uno de los siguientes estimadores propuestos:
\[\widehat{\theta_1} = \dfrac{X_{1} + X_{2}}{6} + \dfrac{X_3 + X_4}{3}\]
\[\widehat{\theta_2} = \dfrac{(X_1 + 2 X_2 + 3 X_3 + 4 X_4)}{5}\]
\[\widehat{\theta_3} = \dfrac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4}\]
\[\widehat{\theta_4} = \dfrac{\min\{X_1,X_2,X_3,X_4\} + \max\{X_1,X_2,X_3,X_4\}}{2}\]
Desarrollo ejercicio 2:
Primera Iteración
n = (20)
x1 =rexp(n, 2)
x2 =rexp(n, 2)
x3 =rexp(n, 2)
x4 =rexp(n, 2)
datos = data.frame(x1, x2, x3, x4)
dmin = apply(datos, 1, min)
dmax = apply(datos, 1, max)
estimadores = data.frame(
t1 = (x1+x2)/6+(x3+x4)/3,
t2 = (x1+2*x2+3*x3+4*x4)/5,
t3 = (x1+x2+x3+x4)/4,
t4 = (dmin+dmax)/2)
summary (estimadores)## t1 t2 t3 t4
## Min. :0.1118 Min. :0.2406 Min. :0.1246 Min. :0.1629
## 1st Qu.:0.3263 1st Qu.:0.5917 1st Qu.:0.3638 1st Qu.:0.4125
## Median :0.5502 Median :1.0515 Median :0.5307 Median :0.5766
## Mean :0.5671 Mean :1.1294 Mean :0.5507 Mean :0.6736
## 3rd Qu.:0.7949 3rd Qu.:1.4582 3rd Qu.:0.6781 3rd Qu.:0.7956
## Max. :1.2039 Max. :2.6552 Max. :1.0211 Max. :1.5671boxplot(estimadores)
abline(h=0.5, col= "red")
varianza <- var(estimadores)Conclusiones Iteración con n = 20
Para la primera iteración con n = 20 concluimos que los t que más se acercan al parámetro solictado son t1, t3 y t4.
Segunda iteración
n = (50)
x1 =rexp(n, 2)
x2 =rexp(n, 2)
x3 =rexp(n, 2)
x4 =rexp(n, 2)
datos = data.frame(x1, x2, x3, x4)
dmin = apply(datos, 1, min)
dmax = apply(datos, 1, max)
estimadores = data.frame(
t1 = (x1+x2)/6+(x3+x4)/3,
t2 = (x1+2*x2+3*x3+4*x4)/5,
t3 = (x1+x2+x3+x4)/4,
t4 = (dmin+dmax)/2)
summary (estimadores)## t1 t2 t3 t4
## Min. :0.1090 Min. :0.2559 Min. :0.08626 Min. :0.1429
## 1st Qu.:0.3008 1st Qu.:0.5712 1st Qu.:0.28137 1st Qu.:0.3279
## Median :0.5365 Median :0.9709 Median :0.50112 Median :0.5168
## Mean :0.5167 Mean :1.0143 Mean :0.50682 Mean :0.5774
## 3rd Qu.:0.6845 3rd Qu.:1.3151 3rd Qu.:0.66406 3rd Qu.:0.7869
## Max. :1.0359 Max. :2.0940 Max. :1.19494 Max. :1.3606boxplot(estimadores)
abline(h=0.5, col= "red")
varianza <- var(estimadores)Conclusiones Iteración con n = 50
En esta oportunidad confirmamos la información de la primera iteración. Los valores que más se aproximan al parámetro son t1 y t3
Tercera iteración
n = (100)
x1 =rexp(n, 2)
x2 =rexp(n, 2)
x3 =rexp(n, 2)
x4 =rexp(n, 2)
datos = data.frame(x1, x2, x3, x4)
dmin = apply(datos, 1, min)
dmax = apply(datos, 1, max)
estimadores = data.frame(
t1 = (x1+x2)/6+(x3+x4)/3,
t2 = (x1+2*x2+3*x3+4*x4)/5,
t3 = (x1+x2+x3+x4)/4,
t4 = (dmin+dmax)/2)
summary (estimadores)## t1 t2 t3 t4
## Min. :0.1007 Min. :0.1837 Min. :0.1115 Min. :0.1389
## 1st Qu.:0.2938 1st Qu.:0.6064 1st Qu.:0.3044 1st Qu.:0.3060
## Median :0.4550 Median :0.9358 Median :0.4598 Median :0.5390
## Mean :0.4875 Mean :0.9792 Mean :0.4908 Mean :0.5617
## 3rd Qu.:0.6620 3rd Qu.:1.2919 3rd Qu.:0.6121 3rd Qu.:0.7229
## Max. :1.1512 Max. :2.5866 Max. :1.2914 Max. :1.7974boxplot(estimadores)
abline(h=0.5, col= "red")
varianza <- var(estimadores)Conclusiones con n = 100
Para la tercera iteración, donde n = 100 concluimos que t2 tiene bastante una varianza bastante amplia y su sesgo es también amplio; llegamos a esta conclusión con base en la media da como resultado casi 1, en este punto descartamos a t4 ya que su varianza es mayor que t1 y t3
Cuarta y última iteración
n = (1000)
x1 =rexp(n, 2)
x2 =rexp(n, 2)
x3 =rexp(n, 2)
x4 =rexp(n, 2)
datos = data.frame(x1, x2, x3, x4)
dmin = apply(datos, 1, min)
dmax = apply(datos, 1, max)
estimadores = data.frame(
t1 = (x1+x2)/6+(x3+x4)/3,
t2 = (x1+2*x2+3*x3+4*x4)/5,
t3 = (x1+x2+x3+x4)/4,
t4 = (dmin+dmax)/2)
summary (estimadores)## t1 t2 t3 t4
## Min. :0.07396 Min. :0.1493 Min. :0.08127 Min. :0.08824
## 1st Qu.:0.30104 1st Qu.:0.5927 1st Qu.:0.30882 1st Qu.:0.34627
## Median :0.45291 Median :0.8865 Median :0.44985 Median :0.52302
## Mean :0.49712 Mean :0.9878 Mean :0.49604 Mean :0.58220
## 3rd Qu.:0.63520 3rd Qu.:1.2764 3rd Qu.:0.63751 3rd Qu.:0.75133
## Max. :1.62055 Max. :3.0845 Max. :1.69946 Max. :2.42681boxplot(estimadores)
abline(h=0.5, col= "red")
varianza <- var(estimadores)Conclusiones con n = 1000
De nuevo estamos entre t1 y t3, pero en esta ocasión analazimaos la media para definir el parámetro, por otra lado analizamos los puntos que genera la distribución exponencial.
Para confirmar hacemos una última iteración con n = 10000
n = (10000)
x1 =rexp(n, 2)
x2 =rexp(n, 2)
x3 =rexp(n, 2)
x4 =rexp(n, 2)
datos = data.frame(x1, x2, x3, x4)
dmin = apply(datos, 1, min)
dmax = apply(datos, 1, max)
estimadores = data.frame(
t1 = (x1+x2)/6+(x3+x4)/3,
t2 = (x1+2*x2+3*x3+4*x4)/5,
t3 = (x1+x2+x3+x4)/4,
t4 = (dmin+dmax)/2)
summary (estimadores)## t1 t2 t3 t4
## Min. :0.0400 Min. :0.07304 Min. :0.03864 Min. :0.03485
## 1st Qu.:0.3054 1st Qu.:0.59926 1st Qu.:0.31386 1st Qu.:0.35062
## Median :0.4498 Median :0.88627 Median :0.45426 Median :0.51658
## Mean :0.4965 Mean :0.99274 Mean :0.49558 Mean :0.57895
## 3rd Qu.:0.6383 3rd Qu.:1.27827 3rd Qu.:0.63308 3rd Qu.:0.74085
## Max. :2.3631 Max. :5.26524 Max. :2.36712 Max. :2.83091boxplot(estimadores)
abline(h=0.5, col= "red")
varianza <- var(estimadores)Conclusiones del ejercicio
La insezgades donde el promedio es igual o lo más cercano posible al promedio es t3, tomando cómo parámetro h = 0.5 tomando a lamba con valor 2.
Ejercicio 3: Teorema del límite central
El Teorema del Límite Central es uno de los más importantes en la inferencia estadística y habla sobre la convergencia de los estimadores como la proporción muestral a la distribución normal. Algunos autores afirman que esta aproximación es bastante buena a partir del umbral n>30.
A continuación se describen los siguientes pasos para su verificación:
Realice una simulación en la cual genere una población de n=1000 (Lote), donde el porcentaje de individuos (supongamos plantas) enfermas sea del 50%.
Genere una función que permita:
- Obtener una muestra aleatoria de la población y
- Calcule el estimador de la proporción muestral \(\widehat{p}\) para un tamaño de muestra dado n.
Repita el escenario anterior (b) n=500 veces y analice los resultados en cuanto al comportamiento de los 500 resultados del estimador \(\widehat{p}\). ¿Qué tan simétricos o sesgados son los resultados obtenidos? y ¿qué se puede observar en cuanto a la variabilidad?. Realice en su informe un comentario sobre los resultados obtenidos.
Repita los puntos b y c para tamaños de muestra n=5, 10, 15, 20, 30, 50, 60, 100, 200, 500. Compare los resultados obtenidos para los diferentes tamaños de muestra en cuanto a la normalidad. Utilice pruebas de bondad y ajuste (shapiro wilks :shapiro.test()) y métodos gráficos (gráfico de normalidad: qqnorm()). Comente en su informe los resultados obtenidos
Repita toda la simulación (puntos a – d), pero ahora para lotes con 10% de plantas enfermas y de nuevo para lotes con un 90% de plantas enfermas. Concluya sobre los resultados del ejercicio.
Desarrollo ejercicio 3:
Siguiendo las recomendaciones dadas en el ejercicio descrito se comienza a desarrollar el proceso:
a. Realice una simulación en la cual genere una población de n=1000 (Lote), donde el porcentaje de individuos (supongamos plantas) enfermas sea del 50%
Se obtiene una muestra de 500 plantas sanas (0) y 500 plantas enfermas (1).
poblacion=rep(c(0,1), each=500)
table(poblacion)## poblacion
## 0 1
## 500 500b. Genere una función que permita:
- Obtener una muestra aleatoria de la población
Se generó una muestra aletaoria de 5 plantas del lote de 1000 plantas.
n=5
plantas5=sample(poblacion, size = n, replace = TRUE)
plantas5## [1] 1 0 0 0 0- Calcule el estimador de la proporción muestral phat para un tamaño de muestra dado n.
Se hizo estimación de la proporicón muestral phat para el tamaño de la muestra de 50.
proporcion_muestral5=sum(plantas5) / 5
proporcion_muestral5## [1] 0.2c. Repita el escenario anterior (b) n=500 veces y analice los resultados en cuanto al comportamiento de los 500 resultados del estimador phat. ¿Qué tan simétricos o sesgados son los resultados obtenidos? y ¿qué se puede observar en cuanto a la variabilidad?. Realice en su informe un comentario sobre los resultados obtenidos.
Para éste caso se construye una función que incluya las repeticiones y estime para cada repetición los phat.
muestra = function(n){
m = sample(poblacion,n, replace = TRUE)
return(m)
}
n=5
m=500
y = matrix(muestra(n*m), ncol=5)
y## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 1 1 1 0 1
## [2,] 0 1 0 1 1
## [3,] 1 0 1 0 1
## [4,] 1 0 0 1 0
## [5,] 1 1 0 0 0
## [6,] 0 0 1 0 0
## [7,] 0 0 0 1 1
## [8,] 0 1 0 0 0
## [9,] 1 1 0 1 1
## [10,] 1 0 0 1 1
## [11,] 1 0 1 1 0
## [12,] 1 0 0 1 1
## [13,] 0 1 1 1 0
## [14,] 0 1 0 0 0
## [15,] 0 1 0 0 0
## [16,] 1 0 1 0 1
## [17,] 0 1 0 0 0
## [18,] 1 1 1 1 0
## [19,] 0 1 1 0 1
## [20,] 0 0 0 0 0
## [21,] 0 1 0 0 1
## [22,] 1 0 0 0 1
## [23,] 1 0 0 0 0
## [24,] 0 1 1 1 0
## [25,] 1 0 1 0 1
## [26,] 1 1 1 0 0
## [27,] 0 1 0 1 1
## [28,] 1 0 0 1 0
## [29,] 0 1 1 0 1
## [30,] 1 1 0 0 0
## [31,] 1 0 0 1 0
## [32,] 0 0 1 1 1
## [33,] 0 0 1 0 0
## [34,] 1 0 0 0 0
## [35,] 1 0 1 0 1
## [36,] 1 1 0 0 1
## [37,] 1 1 1 0 1
## [38,] 0 0 1 0 0
## [39,] 0 0 0 0 1
## [40,] 1 1 1 0 0
## [41,] 1 1 0 0 0
## [42,] 1 1 1 0 1
## [43,] 0 1 1 0 1
## [44,] 1 0 0 0 1
## [45,] 1 1 1 1 0
## [46,] 0 1 0 0 0
## [47,] 0 0 0 0 0
## [48,] 0 0 1 0 0
## [49,] 0 1 0 1 0
## [50,] 0 1 0 1 1
## [51,] 0 0 1 0 1
## [52,] 1 1 0 1 1
## [53,] 1 1 1 0 0
## [54,] 0 0 0 1 0
## [55,] 0 1 0 0 0
## [56,] 0 1 0 0 0
## [57,] 0 0 1 0 1
## [58,] 1 0 1 0 0
## [59,] 1 1 1 0 0
## [60,] 1 0 1 0 1
## [61,] 0 1 1 0 1
## [62,] 0 0 1 0 1
## [63,] 0 0 1 0 1
## [64,] 0 1 0 1 0
## [65,] 1 1 1 0 0
## [66,] 1 1 1 0 0
## [67,] 1 1 0 0 1
## [68,] 0 0 1 1 1
## [69,] 1 0 0 0 0
## [70,] 1 1 0 0 0
## [71,] 0 0 0 1 1
## [72,] 0 0 1 0 0
## [73,] 1 0 0 0 0
## [74,] 0 1 1 0 1
## [75,] 1 1 0 0 0
## [76,] 0 0 1 0 1
## [77,] 1 1 0 0 1
## [78,] 1 0 0 1 1
## [79,] 1 1 0 0 1
## [80,] 0 0 0 0 1
## [81,] 1 1 1 0 0
## [82,] 0 1 0 1 1
## [83,] 0 1 1 0 0
## [84,] 1 1 1 0 1
## [85,] 1 1 0 0 1
## [86,] 1 0 0 1 1
## [87,] 0 0 0 0 0
## [88,] 0 1 1 0 1
## [89,] 0 1 0 1 0
## [90,] 1 1 0 0 0
## [91,] 1 0 1 0 0
## [92,] 1 0 0 1 0
## [93,] 0 0 1 1 0
## [94,] 1 0 1 0 0
## [95,] 1 0 0 0 0
## [96,] 0 0 1 1 1
## [97,] 1 1 1 1 1
## [98,] 0 0 1 0 0
## [99,] 0 0 1 0 1
## [100,] 1 1 1 0 0
## [101,] 0 1 1 0 0
## [102,] 1 1 0 0 0
## [103,] 0 0 1 0 1
## [104,] 1 0 0 0 0
## [105,] 0 0 0 1 1
## [106,] 1 0 0 1 0
## [107,] 0 0 0 0 0
## [108,] 0 1 1 1 1
## [109,] 1 0 0 0 1
## [110,] 1 0 0 0 1
## [111,] 0 1 0 1 1
## [112,] 0 0 1 1 0
## [113,] 1 1 1 1 1
## [114,] 1 1 0 0 0
## [115,] 0 1 1 0 0
## [116,] 0 0 1 0 1
## [117,] 1 1 1 1 1
## [118,] 1 0 1 0 1
## [119,] 1 1 0 0 0
## [120,] 1 1 1 1 1
## [121,] 1 1 1 1 1
## [122,] 1 1 1 1 0
## [123,] 0 1 0 0 1
## [124,] 1 0 1 1 1
## [125,] 0 1 1 0 1
## [126,] 0 0 0 1 0
## [127,] 0 0 0 1 1
## [128,] 0 1 1 1 1
## [129,] 1 1 0 0 0
## [130,] 1 0 1 0 1
## [131,] 1 1 1 0 0
## [132,] 0 1 1 0 0
## [133,] 0 1 1 1 1
## [134,] 1 1 1 0 1
## [135,] 0 1 0 0 1
## [136,] 0 1 1 0 0
## [137,] 0 0 1 1 0
## [138,] 0 0 0 1 1
## [139,] 0 0 1 1 1
## [140,] 1 0 0 1 0
## [141,] 1 0 0 1 0
## [142,] 0 1 1 1 0
## [143,] 0 0 1 1 1
## [144,] 1 0 1 1 1
## [145,] 0 1 1 1 0
## [146,] 0 1 0 0 1
## [147,] 0 0 1 0 0
## [148,] 1 0 1 0 1
## [149,] 0 1 1 1 1
## [150,] 0 1 0 0 1
## [151,] 0 0 0 0 1
## [152,] 0 1 1 0 0
## [153,] 1 1 0 0 0
## [154,] 1 0 1 0 0
## [155,] 0 0 0 0 0
## [156,] 1 1 0 1 0
## [157,] 0 0 1 0 1
## [158,] 1 1 1 0 0
## [159,] 1 0 0 1 1
## [160,] 0 0 1 0 1
## [161,] 0 0 1 1 1
## [162,] 1 1 0 1 0
## [163,] 0 1 1 0 0
## [164,] 0 0 1 0 1
## [165,] 0 0 1 1 1
## [166,] 0 0 1 1 1
## [167,] 1 1 1 0 1
## [168,] 0 1 1 0 0
## [169,] 1 0 0 1 1
## [170,] 1 1 1 0 0
## [171,] 1 1 1 1 0
## [172,] 0 0 0 1 1
## [173,] 0 1 1 1 0
## [174,] 1 1 0 0 1
## [175,] 1 1 1 0 0
## [176,] 0 0 1 1 1
## [177,] 0 1 0 0 1
## [178,] 0 0 1 1 0
## [179,] 0 1 1 1 1
## [180,] 1 1 1 1 0
## [181,] 1 1 0 1 0
## [182,] 1 0 1 1 0
## [183,] 0 1 0 0 1
## [184,] 1 1 0 0 1
## [185,] 1 1 1 0 1
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## [495,] 0 1 0 1 0
## [496,] 1 1 0 0 1
## [497,] 1 1 0 1 0
## [498,] 1 1 0 0 1
## [499,] 0 0 1 1 1
## [500,] 0 1 1 0 1phat = function(x){
sum(x)/5
}
phat5 = apply(y,1,phat)
phat5## [1] 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.4 0.2 0.8 0.6 0.6 0.6 0.6 0.2 0.2 0.6 0.2 0.8
## [19] 0.6 0.0 0.4 0.4 0.2 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.6 0.4 0.4 0.6 0.2 0.2 0.6 0.6
## [37] 0.8 0.2 0.2 0.6 0.4 0.8 0.6 0.4 0.8 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.4 0.8 0.6 0.2
## [55] 0.2 0.2 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.2 0.4 0.4 0.2
## [73] 0.2 0.6 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 0.2 0.6 0.6 0.4 0.8 0.6 0.6 0.0 0.6 0.4 0.4
## [91] 0.4 0.4 0.4 0.4 0.2 0.6 1.0 0.2 0.4 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.4 0.4 0.0 0.8
## [109] 0.4 0.4 0.6 0.4 1.0 0.4 0.4 0.4 1.0 0.6 0.4 1.0 1.0 0.8 0.4 0.8 0.6 0.2
## [127] 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6 0.4 0.8 0.8 0.4 0.4 0.4 0.4 0.6 0.4 0.4 0.6 0.6 0.8
## [145] 0.6 0.4 0.2 0.6 0.8 0.4 0.2 0.4 0.4 0.4 0.0 0.6 0.4 0.6 0.6 0.4 0.6 0.6
## [163] 0.4 0.4 0.6 0.6 0.8 0.4 0.6 0.6 0.8 0.4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.8 0.8
## [181] 0.6 0.6 0.4 0.6 0.8 0.4 0.2 0.4 0.4 0.8 0.8 0.4 0.2 0.4 0.4 0.4 0.6 0.2
## [199] 0.6 0.4 0.4 0.2 0.6 0.0 0.6 0.4 0.6 0.4 0.4 0.2 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4
## [217] 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 0.4 0.6 0.4 1.0 0.6 0.8 0.6 1.0 0.4 0.4 0.8 0.6 0.4
## [235] 0.8 0.8 1.0 0.4 0.4 0.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.4 0.6 0.6 0.8
## [253] 0.4 0.8 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 0.4 0.6 0.6 0.6 0.8
## [271] 0.2 0.8 0.6 0.4 0.4 0.2 0.4 0.2 0.8 0.8 0.2 0.0 0.2 0.6 0.8 1.0 0.4 0.6
## [289] 0.4 0.6 0.2 0.4 0.6 0.6 0.8 0.2 0.0 0.6 0.8 0.6 1.0 0.8 0.4 0.4 0.2 0.8
## [307] 0.8 0.6 0.8 0.8 0.2 0.4 0.2 0.6 0.4 0.2 0.6 0.6 1.0 0.8 0.6 0.4 0.6 0.6
## [325] 0.4 0.6 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.6 0.2 0.6 0.6 0.6 0.8 0.4 0.6 1.0 0.4 0.4
## [343] 1.0 0.4 1.0 0.4 0.2 0.0 0.8 0.6 0.8 0.6 0.2 0.6 0.2 0.6 0.8 0.2 0.8 0.8
## [361] 0.2 0.4 0.6 0.6 0.0 0.4 0.6 0.4 0.4 0.6 0.2 0.4 0.8 0.2 0.8 0.8 0.8 0.8
## [379] 0.6 0.4 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.6 0.4 0.8 0.6 0.6 0.6 0.2 0.6 0.8 0.6 0.4
## [397] 0.6 0.6 0.4 0.8 0.2 0.6 0.2 0.4 0.6 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.6 0.8 0.6 0.2
## [415] 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.4 0.6 0.4 0.6 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.4 0.6 0.8 0.6
## [433] 0.4 0.6 0.4 0.4 0.6 0.6 0.8 0.2 0.8 0.6 0.8 0.6 0.6 0.2 0.6 0.8 0.4 0.0
## [451] 0.6 0.6 0.0 0.4 0.6 0.2 0.6 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.6 0.8 0.6 0.2
## [469] 0.4 0.6 0.4 0.4 0.4 0.6 0.6 0.4 0.4 0.6 0.4 0.8 0.2 0.2 0.6 0.8 0.6 0.4
## [487] 0.6 0.4 0.4 0.4 0.6 0.4 0.2 0.6 0.4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6Se hace la estimación de un histograma de los 500 phat estimados, con huecos debido a que la muestra es 0 y 1. Además la distribución tiene a simple vista una leve asimetría; sin embargo con las pruebas de bondad y ajuste y el gráfico de normalidad, se corrobora mejor este hallazgo cuando n=5, que fue nuestra primer ejercicio de tamaño de muestra.
hist(phat5, col = "skyblue",
main = "Histograma de phat para muestra de tamaño 5 (500 repeticiones)",
xlab = "Estimador de la proporción muestral (phat)")
d.Repita los puntos b y c para tamaños de muestra n=5, 10, 15, 20, 30, 50, 60, 100, 200, 500. Compare los resultados obtenidos para los diferentes tamaños de muestra en cuanto a la normalidad. Utilice pruebas de bondad y ajuste (shapiro wilks :shspiro.test()) y métodos gráficos (gráfico de normalidad: qqnorm()). Comente en su informe los resultados obtenidos.
Lo anterior se debe convertir en una función que haga un histograma para todos los phat estimados para los diferentes tamaños de muestra y repeticiones. Observándose que cuando el tamaño de la muestra se incrementa la forma del histograma se vuelve simétrico, va tomando la forma de una distribución normal.
grafico_h = function(n){
m=500
y = matrix(muestra(n*m), ncol = n)
phat = function(x){
sum(x)/n}
phat_est = apply(y,1,phat)
hist(phat_est, main = paste("n =", n))
}
par(mfrow=c(2,5))
grafico_h(5)
grafico_h(10)
grafico_h(15)
grafico_h(20)
grafico_h(30)
grafico_h(50)
grafico_h(60)
grafico_h(100)
grafico_h(200)
grafico_h(500)
Ahora usaremos pruebas de bondad y ajuste como shapiro wilks (shapiro.test()) y métodos gráficos de normalidad como la qqnorm().
grafico_qq = function(n){
m=500
y = matrix(muestra(n*m), ncol = n)
phat = function(x){
sum(x)/n}
phat_est = apply(y,1,phat)
qqnorm(phat_est, main = paste("n =", n)); qqline(phat_est, col="red")
}
par(mfrow=c(2,5))
grafico_qq(5)
grafico_qq(10)
grafico_qq(15)
grafico_qq(20)
grafico_qq(30)
grafico_qq(50)
grafico_qq(60)
grafico_qq(100)
grafico_qq(200)
grafico_qq(500)
prueba_norm = function(n){
m=500
y = matrix(muestra(n*m), ncol = n)
phat = function(x){
sum(x)/n}
phat_est = apply(y,1,phat)
shapiro.test(phat_est)
}
prueba_norm(5)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est
## W = 0.92554, p-value = 4.884e-15prueba_norm(10)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est
## W = 0.96712, p-value = 3.79e-09prueba_norm(15)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est
## W = 0.97667, p-value = 3.653e-07prueba_norm(20)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est
## W = 0.97822, p-value = 8.447e-07prueba_norm(30)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est
## W = 0.98427, p-value = 3.092e-05prueba_norm(50)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est
## W = 0.98865, p-value = 0.0006421prueba_norm(60)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est
## W = 0.98461, p-value = 3.859e-05prueba_norm(100)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est
## W = 0.9953, p-value = 0.1358prueba_norm(200)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est
## W = 0.99253, p-value = 0.01333prueba_norm(500)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est
## W = 0.99642, p-value = 0.328Por el lado de la gráfica qqnorm se observa con n=5 un gráfico de valores no normales hasta el gráfico con n=500 con puntos alineados con la recta diagonal de color rojo que representa la coincidencia entre los percentiles teóricos normales y los percentiles muestrales de phat, indicando una convergencia a la distribución normal. Adicionalmente, con la prueba de shapiro para cada uno de los tamaño de muestra se observa que entre mayor sea la muestra el p-value, por ejemplo, con un tamaño de muestra de sólo 200 no se rechaza la Hipótesis nula (Ho) de que la distribución de los phat estimados sigue una distribución normal.En conclusión se corrobora el Teorema del Límite Central.
Repita toda la simulación (puntos a – d), pero ahora para lotes con 10% de plantas enfermas y de nuevo para lotes con un 90% de plantas enfermas. Concluya sobre los resultados del ejercicio
Lotes con un 10% de plantas enfermas
Histogramas de los phat estimados para los diferentes tamaños de muestra y con 500 repeticiones.Se observa que con n=5 la distribución de los phat estimados es asimétrica positiva; sin embargo, a medida que el tamaño de la muestra se incrementa el sesgo va desapareciendo.
poblacion10=c(rep(1,100), rep(0,900))
table(poblacion10)## poblacion10
## 0 1
## 900 100muestra10 = function(n){
m10 = sample(poblacion10,n, replace = TRUE)
return(m10)
}
n=5
m10=500
y = matrix(muestra(n*m10), ncol=5)
y## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 1 1 1 1 0
## [2,] 1 1 0 1 1
## [3,] 0 1 1 1 0
## [4,] 0 1 0 1 1
## [5,] 1 0 0 0 0
## [6,] 0 1 1 0 1
## [7,] 1 0 1 1 1
## [8,] 1 1 0 0 0
## [9,] 0 1 0 0 1
## [10,] 0 1 1 1 0
## [11,] 1 0 1 1 1
## [12,] 0 1 0 1 1
## [13,] 0 1 0 0 0
## [14,] 1 1 0 0 0
## [15,] 0 0 1 1 0
## [16,] 0 1 0 0 0
## [17,] 0 0 0 1 1
## [18,] 0 0 1 0 1
## [19,] 0 1 0 0 0
## [20,] 0 1 0 0 0
## [21,] 1 1 0 1 1
## [22,] 0 1 1 1 0
## [23,] 0 1 1 0 1
## [24,] 1 1 1 1 1
## [25,] 1 1 0 0 0
## [26,] 0 0 0 1 0
## [27,] 0 0 1 1 0
## [28,] 0 1 1 1 1
## [29,] 1 1 1 0 0
## [30,] 1 0 1 1 1
## [31,] 0 1 1 1 0
## [32,] 0 1 0 0 0
## [33,] 0 1 0 0 0
## [34,] 1 0 0 0 1
## [35,] 1 0 0 0 1
## [36,] 0 0 0 0 0
## [37,] 0 1 0 1 1
## [38,] 1 0 1 1 1
## [39,] 1 1 1 1 0
## [40,] 0 0 0 1 0
## [41,] 1 0 0 1 1
## [42,] 1 0 1 0 1
## [43,] 1 0 0 0 1
## [44,] 0 1 1 0 1
## [45,] 1 0 0 1 1
## [46,] 1 1 1 1 1
## [47,] 1 0 1 0 0
## [48,] 0 0 1 1 0
## [49,] 1 0 1 1 1
## [50,] 0 0 1 1 1
## [51,] 1 1 0 1 1
## [52,] 1 1 0 1 1
## [53,] 0 0 0 1 0
## [54,] 1 1 0 0 0
## [55,] 0 0 0 0 1
## [56,] 0 1 0 0 0
## [57,] 0 1 1 1 1
## [58,] 0 0 1 0 0
## [59,] 0 1 0 1 1
## [60,] 1 1 0 1 0
## [61,] 0 1 0 1 1
## [62,] 1 1 0 1 1
## [63,] 1 0 1 1 0
## [64,] 1 1 0 0 0
## [65,] 1 1 1 0 0
## [66,] 1 0 1 0 0
## [67,] 0 0 0 0 1
## [68,] 0 0 1 1 0
## [69,] 1 0 1 0 1
## [70,] 0 1 1 1 0
## [71,] 1 1 0 0 0
## [72,] 0 1 1 1 0
## [73,] 1 1 0 1 1
## [74,] 0 1 0 0 1
## [75,] 1 1 0 1 0
## [76,] 1 0 1 1 0
## [77,] 0 0 1 0 0
## [78,] 1 1 1 1 1
## [79,] 1 1 1 0 0
## [80,] 0 1 1 1 1
## [81,] 0 0 1 1 1
## [82,] 0 0 0 1 1
## [83,] 0 0 1 0 1
## [84,] 1 0 1 1 1
## [85,] 0 0 0 1 1
## [86,] 0 0 1 0 1
## [87,] 0 1 0 0 0
## [88,] 0 1 0 1 1
## [89,] 0 0 1 0 1
## [90,] 0 0 1 1 0
## [91,] 0 1 1 0 0
## [92,] 0 1 0 0 1
## [93,] 1 1 0 1 1
## [94,] 1 0 1 1 1
## [95,] 0 1 1 0 1
## [96,] 1 0 1 1 0
## [97,] 0 0 1 0 1
## [98,] 0 0 1 0 1
## [99,] 1 0 1 1 1
## [100,] 0 1 1 0 1
## [101,] 0 1 1 1 0
## [102,] 1 0 1 1 1
## [103,] 0 0 1 0 0
## [104,] 1 1 0 0 0
## [105,] 0 1 1 1 0
## [106,] 1 1 1 1 0
## [107,] 0 0 1 0 1
## [108,] 0 0 0 0 0
## [109,] 1 1 0 0 0
## [110,] 1 1 1 0 0
## [111,] 1 0 0 0 0
## [112,] 0 1 0 0 0
## [113,] 0 0 1 1 1
## [114,] 1 0 1 1 0
## [115,] 1 0 1 1 1
## [116,] 0 0 1 1 1
## [117,] 1 1 1 1 1
## [118,] 0 0 1 1 1
## [119,] 0 0 1 0 1
## [120,] 1 1 1 0 1
## [121,] 0 1 1 1 0
## [122,] 0 0 1 1 0
## [123,] 1 0 0 0 0
## [124,] 0 1 0 1 1
## [125,] 0 1 1 0 1
## [126,] 0 1 1 0 1
## [127,] 0 0 1 1 0
## [128,] 0 1 1 1 1
## [129,] 1 0 1 0 0
## [130,] 1 1 0 0 1
## [131,] 1 0 0 1 1
## [132,] 0 0 0 0 0
## [133,] 0 1 0 0 0
## [134,] 1 1 1 0 0
## [135,] 1 0 0 1 1
## [136,] 0 0 0 1 0
## [137,] 0 1 0 0 1
## [138,] 0 1 0 1 1
## [139,] 0 0 0 1 1
## [140,] 1 0 0 0 0
## [141,] 1 0 0 0 1
## [142,] 0 0 0 1 1
## [143,] 0 0 1 1 1
## [144,] 0 0 1 0 1
## [145,] 1 0 0 0 1
## [146,] 1 1 1 1 0
## [147,] 1 0 0 0 0
## [148,] 0 0 1 1 0
## [149,] 0 0 1 0 1
## [150,] 0 0 1 0 0
## [151,] 1 1 1 1 0
## [152,] 1 0 1 0 0
## [153,] 1 0 1 1 1
## [154,] 0 0 1 1 1
## [155,] 1 1 1 0 0
## [156,] 1 0 1 1 1
## [157,] 0 1 0 0 0
## [158,] 0 0 1 0 0
## [159,] 0 0 1 0 0
## [160,] 1 0 1 0 1
## [161,] 1 0 0 1 1
## [162,] 0 0 1 1 1
## [163,] 0 1 0 0 0
## [164,] 1 1 1 1 1
## [165,] 1 0 0 0 0
## [166,] 0 0 1 0 1
## [167,] 0 0 1 0 1
## [168,] 1 0 1 1 1
## [169,] 0 0 0 1 0
## [170,] 1 1 0 0 0
## [171,] 1 1 0 1 1
## [172,] 0 0 1 0 0
## [173,] 0 1 1 0 1
## [174,] 0 0 1 0 0
## [175,] 1 0 0 1 0
## [176,] 1 1 0 1 1
## [177,] 1 0 1 0 0
## [178,] 1 1 1 1 0
## [179,] 1 1 1 0 1
## [180,] 0 1 0 1 0
## [181,] 1 1 1 1 0
## [182,] 1 0 0 0 1
## [183,] 0 1 0 0 0
## [184,] 1 1 0 1 0
## [185,] 0 1 1 0 0
## [186,] 1 1 0 1 1
## [187,] 0 0 1 1 1
## [188,] 0 0 0 0 1
## [189,] 1 0 1 1 1
## [190,] 1 1 0 0 0
## [191,] 1 1 0 1 0
## [192,] 0 1 1 1 0
## [193,] 0 0 1 1 0
## [194,] 0 1 1 1 1
## [195,] 0 1 1 0 0
## [196,] 0 1 1 1 1
## [197,] 0 0 1 0 0
## [198,] 1 0 1 0 0
## [199,] 1 1 0 1 1
## [200,] 0 1 0 0 1
## [201,] 1 1 0 1 0
## [202,] 1 0 1 1 0
## [203,] 1 0 1 0 1
## [204,] 0 1 0 0 0
## [205,] 1 0 0 1 0
## [206,] 0 1 1 1 0
## [207,] 1 1 1 1 1
## [208,] 1 0 1 0 1
## [209,] 1 1 0 1 0
## [210,] 0 1 1 1 0
## [211,] 1 1 0 1 0
## [212,] 1 0 1 0 0
## [213,] 0 1 1 1 0
## [214,] 0 1 0 1 0
## [215,] 1 1 1 1 1
## [216,] 1 1 1 1 0
## [217,] 1 0 1 0 0
## [218,] 1 1 0 1 1
## [219,] 0 1 1 1 1
## [220,] 0 0 1 1 1
## [221,] 0 1 1 1 0
## [222,] 1 0 0 0 1
## [223,] 0 0 0 0 1
## [224,] 0 1 0 0 0
## [225,] 0 0 0 1 0
## [226,] 1 1 0 0 0
## [227,] 0 0 1 0 0
## [228,] 0 0 1 1 1
## [229,] 1 0 0 1 0
## [230,] 0 1 0 0 0
## [231,] 0 1 0 0 1
## [232,] 1 0 0 1 0
## [233,] 1 1 1 1 0
## [234,] 1 0 0 1 0
## [235,] 0 0 1 1 0
## [236,] 1 0 1 1 0
## [237,] 0 1 0 1 0
## [238,] 0 1 1 0 0
## [239,] 1 1 1 0 0
## [240,] 1 1 0 1 1
## [241,] 1 1 0 0 1
## [242,] 1 1 0 1 0
## [243,] 1 0 1 0 0
## [244,] 1 0 1 1 0
## [245,] 1 0 0 0 0
## [246,] 1 1 1 1 0
## [247,] 1 1 0 0 0
## [248,] 1 1 0 1 1
## [249,] 0 0 0 0 0
## [250,] 1 1 1 1 0
## [251,] 1 0 1 0 1
## [252,] 0 1 0 1 0
## [253,] 0 1 0 0 1
## [254,] 0 0 0 0 0
## [255,] 1 0 1 0 0
## [256,] 0 1 0 0 1
## [257,] 0 0 0 0 0
## [258,] 0 0 0 1 0
## [259,] 0 1 0 0 0
## [260,] 0 1 1 1 1
## [261,] 0 1 1 0 1
## [262,] 0 1 0 0 0
## [263,] 1 0 0 0 1
## [264,] 1 1 0 0 1
## [265,] 0 1 1 0 1
## [266,] 1 1 0 0 0
## [267,] 1 0 1 1 0
## [268,] 1 1 0 1 0
## [269,] 0 0 1 0 0
## [270,] 0 0 0 0 0
## [271,] 0 1 1 1 1
## [272,] 1 0 0 1 1
## [273,] 1 1 1 0 0
## [274,] 1 1 0 1 1
## [275,] 0 0 0 0 1
## [276,] 1 0 0 0 1
## [277,] 0 0 0 1 1
## [278,] 1 1 0 1 1
## [279,] 0 1 1 0 1
## [280,] 0 1 0 0 0
## [281,] 1 0 1 1 1
## [282,] 0 1 1 1 1
## [283,] 0 1 1 0 1
## [284,] 0 1 1 1 1
## [285,] 1 0 0 1 0
## [286,] 1 0 0 0 1
## [287,] 1 1 0 1 0
## [288,] 1 1 0 0 0
## [289,] 0 0 0 0 0
## [290,] 1 0 0 1 1
## [291,] 1 0 1 0 1
## [292,] 0 1 0 1 1
## [293,] 0 0 1 1 0
## [294,] 1 0 0 1 0
## [295,] 1 0 1 0 1
## [296,] 0 0 0 1 0
## [297,] 1 0 1 0 0
## [298,] 1 1 0 1 0
## [299,] 1 0 1 0 1
## [300,] 1 1 1 1 1
## [301,] 0 1 0 1 1
## [302,] 1 0 0 1 0
## [303,] 1 0 1 1 0
## [304,] 1 0 0 0 0
## [305,] 0 1 0 0 1
## [306,] 0 0 0 1 1
## [307,] 0 0 0 1 0
## [308,] 1 0 0 0 0
## [309,] 0 1 1 1 1
## [310,] 1 1 1 0 0
## [311,] 1 0 0 1 1
## [312,] 1 0 0 1 1
## [313,] 1 0 1 1 1
## [314,] 1 0 1 1 1
## [315,] 0 0 0 0 1
## [316,] 0 1 0 1 0
## [317,] 1 0 0 0 0
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## [319,] 1 0 0 0 1
## [320,] 0 0 0 0 0
## [321,] 0 1 1 1 1
## [322,] 0 1 0 0 1
## [323,] 0 0 1 1 1
## [324,] 0 1 1 1 0
## [325,] 0 1 1 0 0
## [326,] 0 1 1 0 0
## [327,] 0 0 1 0 1
## [328,] 1 0 1 1 0
## [329,] 0 1 0 1 1
## [330,] 1 0 1 1 0
## [331,] 0 1 1 0 1
## [332,] 0 1 0 1 1
## [333,] 0 0 1 1 1
## [334,] 0 0 0 0 1
## [335,] 1 1 1 0 1
## [336,] 0 1 0 0 0
## [337,] 0 1 1 0 0
## [338,] 1 1 1 0 1
## [339,] 1 0 0 1 1
## [340,] 1 1 1 1 1
## [341,] 1 0 0 0 0
## [342,] 1 1 1 1 0
## [343,] 0 1 0 1 1
## [344,] 0 0 0 0 0
## [345,] 0 1 0 1 1
## [346,] 0 1 0 0 0
## [347,] 1 0 0 0 1
## [348,] 0 0 1 1 0
## [349,] 1 0 0 1 1
## [350,] 1 0 0 0 1
## [351,] 0 1 1 0 0
## [352,] 1 0 0 0 1
## [353,] 1 1 1 1 1
## [354,] 0 1 0 1 0
## [355,] 1 0 0 0 0
## [356,] 1 1 0 0 1
## [357,] 1 0 1 1 1
## [358,] 0 0 1 1 0
## [359,] 0 0 1 1 0
## [360,] 1 0 1 1 1
## [361,] 1 0 1 0 0
## [362,] 0 1 0 1 1
## [363,] 1 1 0 1 0
## [364,] 1 1 0 1 0
## [365,] 1 1 0 1 0
## [366,] 1 0 0 0 1
## [367,] 0 1 1 1 1
## [368,] 1 0 1 1 1
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## [373,] 0 1 1 1 0
## [374,] 1 0 1 1 0
## [375,] 1 0 1 0 0
## [376,] 1 1 0 0 1
## [377,] 0 0 0 0 1
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## [443,] 0 0 1 1 0
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## [445,] 1 1 0 1 0
## [446,] 0 0 0 1 1
## [447,] 1 0 1 0 1
## [448,] 1 1 0 1 0
## [449,] 0 1 1 1 1
## [450,] 0 1 1 1 0
## [451,] 0 0 0 0 0
## [452,] 1 1 0 0 0
## [453,] 1 1 1 1 0
## [454,] 1 1 1 1 0
## [455,] 1 1 0 1 0
## [456,] 1 1 1 1 1
## [457,] 0 1 1 1 1
## [458,] 0 0 1 0 0
## [459,] 1 1 0 1 1
## [460,] 1 0 0 0 0
## [461,] 0 1 1 1 0
## [462,] 1 1 1 0 0
## [463,] 1 0 0 1 1
## [464,] 1 1 1 1 1
## [465,] 1 0 0 0 0
## [466,] 0 0 1 0 1
## [467,] 1 0 1 0 1
## [468,] 1 0 0 1 1
## [469,] 1 1 0 0 1
## [470,] 0 0 1 1 0
## [471,] 0 0 1 1 0
## [472,] 1 1 1 0 1
## [473,] 1 1 1 0 1
## [474,] 0 1 0 1 1
## [475,] 0 1 0 0 0
## [476,] 0 1 0 1 0
## [477,] 0 1 1 0 0
## [478,] 1 0 1 0 1
## [479,] 1 1 0 0 0
## [480,] 1 0 0 0 1
## [481,] 1 0 1 0 0
## [482,] 1 1 1 1 0
## [483,] 0 1 1 1 1
## [484,] 0 0 1 1 1
## [485,] 1 1 1 0 0
## [486,] 0 0 1 1 0
## [487,] 0 1 0 0 1
## [488,] 0 1 1 1 0
## [489,] 0 0 0 1 1
## [490,] 1 0 1 0 1
## [491,] 1 1 0 1 1
## [492,] 0 1 1 1 1
## [493,] 1 0 0 0 1
## [494,] 1 0 1 0 1
## [495,] 0 0 0 1 0
## [496,] 1 1 0 1 1
## [497,] 1 0 0 0 0
## [498,] 1 1 1 1 1
## [499,] 0 1 1 1 1
## [500,] 0 0 0 0 0phat10 = function(x){
sum(x)/5
}
phat5_10 = apply(y,1,phat10)
phat5_10## [1] 0.8 0.8 0.6 0.6 0.2 0.6 0.8 0.4 0.4 0.6 0.8 0.6 0.2 0.4 0.4 0.2 0.4 0.4
## [19] 0.2 0.2 0.8 0.6 0.6 1.0 0.4 0.2 0.4 0.8 0.6 0.8 0.6 0.2 0.2 0.4 0.4 0.0
## [37] 0.6 0.8 0.8 0.2 0.6 0.6 0.4 0.6 0.6 1.0 0.4 0.4 0.8 0.6 0.8 0.8 0.2 0.4
## [55] 0.2 0.2 0.8 0.2 0.6 0.6 0.6 0.8 0.6 0.4 0.6 0.4 0.2 0.4 0.6 0.6 0.4 0.6
## [73] 0.8 0.4 0.6 0.6 0.2 1.0 0.6 0.8 0.6 0.4 0.4 0.8 0.4 0.4 0.2 0.6 0.4 0.4
## [91] 0.4 0.4 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.8 0.6 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 0.4 0.0
## [109] 0.4 0.6 0.2 0.2 0.6 0.6 0.8 0.6 1.0 0.6 0.4 0.8 0.6 0.4 0.2 0.6 0.6 0.6
## [127] 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6 0.0 0.2 0.6 0.6 0.2 0.4 0.6 0.4 0.2 0.4 0.4 0.6 0.4
## [145] 0.4 0.8 0.2 0.4 0.4 0.2 0.8 0.4 0.8 0.6 0.6 0.8 0.2 0.2 0.2 0.6 0.6 0.6
## [163] 0.2 1.0 0.2 0.4 0.4 0.8 0.2 0.4 0.8 0.2 0.6 0.2 0.4 0.8 0.4 0.8 0.8 0.4
## [181] 0.8 0.4 0.2 0.6 0.4 0.8 0.6 0.2 0.8 0.4 0.6 0.6 0.4 0.8 0.4 0.8 0.2 0.4
## [199] 0.8 0.4 0.6 0.6 0.6 0.2 0.4 0.6 1.0 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.6 0.4 1.0 0.8
## [217] 0.4 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.2 0.2 0.2 0.4 0.2 0.6 0.4 0.2 0.4 0.4 0.8 0.4
## [235] 0.4 0.6 0.4 0.4 0.6 0.8 0.6 0.6 0.4 0.6 0.2 0.8 0.4 0.8 0.0 0.8 0.6 0.4
## [253] 0.4 0.0 0.4 0.4 0.0 0.2 0.2 0.8 0.6 0.2 0.4 0.6 0.6 0.4 0.6 0.6 0.2 0.0
## [271] 0.8 0.6 0.6 0.8 0.2 0.4 0.4 0.8 0.6 0.2 0.8 0.8 0.6 0.8 0.4 0.4 0.6 0.4
## [289] 0.0 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.6 0.2 0.4 0.6 0.6 1.0 0.6 0.4 0.6 0.2 0.4 0.4
## [307] 0.2 0.2 0.8 0.6 0.6 0.6 0.8 0.8 0.2 0.4 0.2 0.4 0.4 0.0 0.8 0.4 0.6 0.6
## [325] 0.4 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.2 0.8 0.2 0.4 0.8 0.6 1.0 0.2 0.8
## [343] 0.6 0.0 0.6 0.2 0.4 0.4 0.6 0.4 0.4 0.4 1.0 0.4 0.2 0.6 0.8 0.4 0.4 0.8
## [361] 0.4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.8 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.6 0.6 0.4 0.6 0.2 0.2
## [379] 0.2 0.0 0.4 0.2 0.2 0.8 0.6 0.6 0.6 0.2 0.6 0.4 0.6 0.4 0.4 0.2 0.6 0.8
## [397] 0.2 0.4 0.6 0.4 0.4 0.6 0.0 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.2 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4
## [415] 0.8 0.8 0.2 0.2 0.8 0.6 0.4 0.8 0.6 0.6 0.6 0.6 0.2 0.2 0.6 0.6 0.0 0.2
## [433] 0.4 0.2 0.4 0.0 0.6 0.4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.6 0.4 0.6 0.6 0.8 0.6
## [451] 0.0 0.4 0.8 0.8 0.6 1.0 0.8 0.2 0.8 0.2 0.6 0.6 0.6 1.0 0.2 0.4 0.6 0.6
## [469] 0.6 0.4 0.4 0.8 0.8 0.6 0.2 0.4 0.4 0.6 0.4 0.4 0.4 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4
## [487] 0.4 0.6 0.4 0.6 0.8 0.8 0.4 0.6 0.2 0.8 0.2 1.0 0.8 0.0grafico_h10 = function(n){
m10=500
y = matrix(muestra10(n*m10), ncol = n)
phat10 = function(x){
sum(x)/n}
phat_est10 = apply(y,1,phat10)
hist(phat_est10, main = paste("n =", n))
}
par(mfrow=c(2,5))
grafico_h10(5)
grafico_h10(10)
grafico_h10(15)
grafico_h10(20)
grafico_h10(30)
grafico_h10(50)
grafico_h10(60)
grafico_h10(100)
grafico_h10(200)
grafico_h10(500)
Gráfico de qqnorm validando la coincidencia entre los percentiles teóricos normales con los percentiles muestrales de los phat estimados para los diferentes tamaños de muestra y con 500 repeticiones.
grafico_h10 = function(n){
m10=500
y = matrix(muestra10(n*m10), ncol = n)
phat10 = function(x){
sum(x)/n}
phat_est10 = apply(y,1,phat10)
qqnorm(phat_est10, main = paste("n =", n)); qqline(phat_est10, col="red")
}
par(mfrow=c(2,5))
grafico_h10(5)
grafico_h10(10)
grafico_h10(15)
grafico_h10(20)
grafico_h10(30)
grafico_h10(50)
grafico_h10(60)
grafico_h10(100)
grafico_h10(200)
grafico_h10(500)
prueba_norm10 = function(n){
m10=500
y = matrix(muestra10(n*m10), ncol = n)
phat10 = function(x){
sum(x)/n}
phat_est10 = apply(y,1,phat10)
shapiro.test(phat_est10)
}
par(mfrow=c(2,5))
prueba_norm10(5)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est10
## W = 0.7042, p-value < 2.2e-16prueba_norm10(10)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est10
## W = 0.82225, p-value < 2.2e-16prueba_norm10(15)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est10
## W = 0.88924, p-value < 2.2e-16prueba_norm10(20)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est10
## W = 0.91988, p-value = 1.203e-15prueba_norm10(30)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est10
## W = 0.93985, p-value = 2.429e-13prueba_norm10(50)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est10
## W = 0.97323, p-value = 6.336e-08prueba_norm10(60)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est10
## W = 0.9742, p-value = 1.029e-07prueba_norm10(100)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est10
## W = 0.98457, p-value = 3.764e-05prueba_norm10(200)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est10
## W = 0.98993, p-value = 0.001675prueba_norm10(500)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est10
## W = 0.99078, p-value = 0.003255Para este ejercicio de 10% de plantas enfermas se observa en las gráficas de histogramas del phat para diferentes tamaños de muestra que con n=5 la distribución es asimétrica positiva; sin embargo, cuando se incrementa el tamaño la forma del histograma se vuelve simétrico, y va tomando la forma de una distribución normal. Por el lado de la gráfica qqnorm y de la prueba de shapiro-wilk se observa que a medida que el tamaño de la muestra se va incrementando la distribución de los phat estimados va teniendo un comportamiento de una normal, corroborándose el Teorema del Límite Central.
Lotes con un 90% de plantas enfermas
Histogramas de los phat estimados para los diferentes tamaños de muestra y con 500 repeticiones.Se observa que con n=5 la distribución de los phat estimados es asimétrica negativa; sin embargo, a medida que el tamaño de la muestra se incrementa el sesgo va desapareciendo.
poblacion90=c(rep(1,900), rep(0,100))
table(poblacion90)## poblacion90
## 0 1
## 100 900muestra90 = function(n){
m90 = sample(poblacion90,n, replace = TRUE)
return(m90)
}
n=5
m90=500
y = matrix(muestra(n*m90), ncol=5)
y## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 1 1 0 1 1
## [2,] 1 1 0 0 0
## [3,] 0 0 0 1 0
## [4,] 0 1 1 0 1
## [5,] 0 1 1 1 0
## [6,] 0 1 1 1 1
## [7,] 0 0 0 1 0
## [8,] 1 0 1 0 1
## [9,] 0 1 1 1 0
## [10,] 0 0 1 0 1
## [11,] 1 0 0 0 1
## [12,] 0 0 1 0 0
## [13,] 0 1 0 0 0
## [14,] 1 1 0 0 1
## [15,] 1 1 1 0 0
## [16,] 1 1 0 0 0
## [17,] 1 1 1 0 0
## [18,] 0 1 0 1 0
## [19,] 1 1 0 0 0
## [20,] 1 1 1 0 0
## [21,] 0 0 1 0 0
## [22,] 0 1 1 0 1
## [23,] 1 0 1 1 1
## [24,] 0 0 0 1 1
## [25,] 1 1 1 1 0
## [26,] 1 1 0 1 1
## [27,] 0 0 1 0 0
## [28,] 1 0 1 0 0
## [29,] 1 0 1 0 0
## [30,] 1 1 1 1 0
## [31,] 0 0 0 0 0
## [32,] 0 0 1 1 0
## [33,] 1 0 0 1 1
## [34,] 0 0 1 1 0
## [35,] 0 0 1 1 1
## [36,] 1 1 1 1 0
## [37,] 1 0 1 0 0
## [38,] 0 1 0 0 0
## [39,] 0 1 0 0 0
## [40,] 0 1 1 1 0
## [41,] 1 1 0 0 0
## [42,] 0 0 1 1 0
## [43,] 1 1 0 0 0
## [44,] 0 0 1 0 1
## [45,] 1 1 1 1 1
## [46,] 0 0 1 1 1
## [47,] 0 0 0 1 0
## [48,] 1 0 1 0 1
## [49,] 0 1 1 0 0
## [50,] 1 0 1 1 1
## [51,] 1 1 0 0 1
## [52,] 1 0 0 1 0
## [53,] 1 1 0 0 1
## [54,] 1 0 1 0 1
## [55,] 0 1 0 1 0
## [56,] 0 0 0 0 1
## [57,] 0 1 0 1 1
## [58,] 0 1 0 0 1
## [59,] 1 1 0 0 1
## [60,] 0 1 0 1 1
## [61,] 1 0 0 1 0
## [62,] 1 0 0 0 1
## [63,] 1 1 1 1 1
## [64,] 1 1 1 1 0
## [65,] 1 0 1 1 0
## [66,] 0 1 1 1 0
## [67,] 0 0 0 1 0
## [68,] 0 1 1 0 1
## [69,] 0 0 0 1 0
## [70,] 0 1 0 1 0
## [71,] 1 0 1 1 0
## [72,] 0 0 1 1 1
## [73,] 0 1 0 1 0
## [74,] 0 0 1 0 0
## [75,] 1 0 0 0 1
## [76,] 0 1 1 0 0
## [77,] 0 0 1 1 1
## [78,] 1 1 1 0 1
## [79,] 1 0 0 0 1
## [80,] 0 0 0 0 1
## [81,] 1 1 0 0 1
## [82,] 1 1 0 0 0
## [83,] 1 1 1 0 0
## [84,] 1 1 1 0 0
## [85,] 0 1 0 1 0
## [86,] 1 0 0 1 0
## [87,] 0 0 0 1 0
## [88,] 1 1 1 0 0
## [89,] 1 0 0 1 0
## [90,] 0 0 0 0 1
## [91,] 1 1 1 1 0
## [92,] 0 0 0 0 0
## [93,] 1 1 1 1 0
## [94,] 1 0 1 0 0
## [95,] 1 0 1 1 1
## [96,] 0 1 1 0 0
## [97,] 0 1 1 1 0
## [98,] 0 1 0 0 1
## [99,] 1 1 0 1 0
## [100,] 0 1 1 0 1
## [101,] 0 1 0 1 1
## [102,] 1 0 1 1 1
## [103,] 0 1 1 1 1
## [104,] 1 0 0 0 0
## [105,] 1 1 1 1 0
## [106,] 1 0 1 0 1
## [107,] 0 1 1 0 0
## [108,] 0 1 0 0 0
## [109,] 0 0 1 0 1
## [110,] 1 1 0 1 0
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## [217] 0.2 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.8 0.4 0.4 0.6 0.2 0.4 0.8 0.0 0.8 0.6 0.2
## [235] 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.6 0.6 0.0 0.2 0.6 0.4 0.4 0.6 1.0 0.6 0.6 0.0 0.6
## [253] 0.4 0.2 0.4 0.6 0.6 0.8 0.6 0.8 1.0 0.8 0.4 0.6 0.2 0.4 0.4 0.4 0.4 0.8
## [271] 0.4 0.4 0.4 0.8 0.8 0.4 0.6 0.6 0.6 0.4 0.8 0.0 0.8 0.4 0.2 0.6 0.4 0.6
## [289] 0.4 1.0 0.4 0.4 0.6 0.8 0.4 0.4 0.6 0.4 0.8 0.6 0.6 0.6 0.2 0.0 0.8 0.0
## [307] 0.8 0.8 0.6 0.4 0.8 0.4 0.8 0.6 0.6 0.4 0.6 0.4 0.8 0.6 0.6 0.6 0.0 0.6
## [325] 0.6 0.6 0.8 0.8 0.8 0.2 0.4 0.4 0.6 0.4 0.6 0.2 0.6 0.2 0.4 0.2 0.6 0.2
## [343] 0.4 0.4 0.6 0.4 0.6 0.6 0.4 0.2 0.8 0.6 0.4 0.6 0.6 0.4 0.2 0.4 0.4 0.6
## [361] 0.4 0.2 1.0 0.4 0.4 1.0 0.8 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0.4 0.6 0.4 0.4 0.6 0.6
## [379] 0.4 0.4 0.8 0.6 0.4 0.8 0.2 0.4 0.6 0.6 0.6 0.6 1.0 0.4 0.6 0.4 0.4 0.6
## [397] 0.4 0.4 0.2 0.2 0.6 0.4 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.8 0.6 0.2 0.6 0.8 0.6 0.2
## [415] 0.4 0.6 0.6 0.8 0.6 0.4 0.6 0.4 0.4 0.4 0.4 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.8 0.4
## [433] 0.6 0.6 0.4 0.2 0.4 0.8 0.6 0.2 0.2 0.2 0.2 0.6 0.4 0.4 0.4 0.4 0.8 0.4
## [451] 0.4 0.8 0.6 0.8 0.4 0.8 0.6 0.6 0.6 0.6 0.2 0.8 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 0.8
## [469] 0.8 0.6 0.6 0.6 0.0 0.6 0.8 0.6 0.4 0.4 0.2 0.8 0.4 0.8 0.6 0.6 0.8 0.6
## [487] 0.8 0.6 0.6 0.4 0.0 0.2 0.6 0.8 0.2 0.0 0.8 0.4 0.6 0.6grafico_h90 = function(n){
m90=500
y = matrix(muestra90(n*m90), ncol = n)
phat90 = function(x){
sum(x)/n}
phat_est90 = apply(y,1,phat90)
hist(phat_est90, main = paste("n =", n))
}
par(mfrow=c(2,5))
grafico_h90(5)
grafico_h90(10)
grafico_h90(15)
grafico_h90(20)
grafico_h90(30)
grafico_h90(50)
grafico_h90(60)
grafico_h90(100)
grafico_h90(200)
grafico_h90(500)
Gráfico de qqnorm validando la coincidencia entre los percentiles teóricos normales con los percentiles muestrales de los phat estimados para los diferentes tamaños de muestra y con 500 repeticiones.
grafico_qq90 = function(n){
m90=500
y = matrix(muestra90(n*m90), ncol = n)
phat90 = function(x){
sum(x)/n}
phat_est90 = apply(y,1,phat90)
qqnorm(phat_est90, main = paste("n =", n)); qqline(phat_est90, col="red")
}
par(mfrow=c(2,5))
grafico_qq90(5)
grafico_qq90(10)
grafico_qq90(15)
grafico_qq90(20)
grafico_qq90(30)
grafico_qq90(50)
grafico_qq90(60)
grafico_qq90(100)
grafico_qq90(200)
grafico_qq90(500)
prueba_norm90 = function(n){
m90=500
y = matrix(muestra90(n*m10), ncol = n)
phat90 = function(x){
sum(x)/n}
phat_est90 = apply(y,1,phat90)
shapiro.test(phat_est90)
}
prueba_norm90(5)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est90
## W = 0.72491, p-value < 2.2e-16prueba_norm90(10)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est90
## W = 0.83546, p-value < 2.2e-16prueba_norm90(15)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est90
## W = 0.90025, p-value < 2.2e-16prueba_norm90(20)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est90
## W = 0.91912, p-value = 1.002e-15prueba_norm90(30)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est90
## W = 0.94424, p-value = 9.135e-13prueba_norm90(50)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est90
## W = 0.96006, p-value = 2.122e-10prueba_norm90(60)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est90
## W = 0.97743, p-value = 5.507e-07prueba_norm90(100)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est90
## W = 0.98318, p-value = 1.551e-05prueba_norm90(200)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est90
## W = 0.99095, p-value = 0.003719prueba_norm90(500)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: phat_est90
## W = 0.99487, p-value = 0.09476En general, así el tamaño de la muestra cuando n=5 de los phat para 50% de plantas enfermas a simple vista no es simétrica, con 10% es realmente asimétrica positiva y con 90% es realmente asimétrica negativa; se demuestra que si el tamaño de la muestra se incrementa la distribución de los phat se va volviendo simétrica y va tomando la forma de la normal. Es importante mencionar que en el caso del ejercicio para 50% de plantas enfermas con un tamaño de muestra de 200 no se rechazaba Ho.
Además de las formas de los histogramas y sus hallazgos, se corroboran también con el gráfico de normalidad (qqnorm) y la prueba Shapiro-Wilk en torno a la normalidad de los phat para cada tamaño de muestra, que cuando se incrementa éste la distribución a tornandose normal en los phat, corroborándose el Teorema del Límite Central.
Ejercicio 4: Estimación bootstrap
Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:
El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X1. Después de anotado el valor se regresa X1 a la caja y se extrae el valor X2, regresándolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X1,X2,X3,Xn, conformando la muestra bootstrap.
Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(\overline{X}\)i, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:
Método 1: (P2.5; P97.5)
Método 2: (2\(\overline{X}\) - P97.5;2\(\overline{X}\) - P2.5)
Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?
Desarrollo ejercicio 4:
Utilizando el muestreo por sustitución se tiene lo siguiente:
original_sample <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) # Datos de la muestra original
s = sample(original_sample,7000,replace=TRUE) # 1000 muestras de los 7 eventos usando la función sample
m = matrix(s, nrow=1000, ncol=7) # Se construye una matriz de 1000 x 7
meanm = apply(m, 1, mean) # A cada fila se le calcula la mediaSe aplica el método bootstrap pues no hay información del tipo de distribución que tienen los datos. Usando el método 1:
qm1 = quantile(meanm, probs = c(0.025, 0.975))
qm1## 2.5% 97.5%
## 4.732679 6.460250Ahora se aplica el método 2:
qm2 = c( 2 * mean(meanm) - qm1[2], 2 * mean(meanm) - qm1[1])
qm2## 97.5% 2.5%
## 4.611827 6.339399Estos resultados se colocan en un histograma para visualizarlos de manera más sencilla:
hist(meanm)
abline(v = qm1, col= "red", lwd=2)
abline(v = qm2, col= "blue", lwd=2)
Con estos resultados podemos decir con un 95% de confianza que el promedio poblacional de rendimiento de gasolina en los camiones basados en el remuestreo bootstrap (k=1000) se encuentra entre 4.74 y 6.49 usando el primer método y entre 4.63 y 6.37 usando el segundo. Es importante mencionar que la elección entre ambos métodos depende de la validez del supuesto de que la distribución bootstrap refleja adecuadamente la distribución de la muestra original; sin embargo, comparando los resultados,el segundo método corrige el intervalo debido a que utiliza la simetría de la distribución para estimar el límite inferior y superior del intervalo de confianza.
Dado que no se saben las características de los camiones ni su tiempo de uso y el mantenimiento que se les dan, no es posible tener una conclusión certera, puesto que, según algunos estudios, el rendimiento de un camión de carga oscila entre 5 a 8 mpg, pero si es un modelo nuevo puede llegar a tener entre 10 a 11 mpg. En este caso consideramos que no es un resultado confiable y se debe tener mayor información acerca del vehículo para tomar decisiones al respecto.