El video de explicación del trabajo está en este enlace

1 Probabilidad

Desde el departamento de marketing de Honda, se quiere analizar los vehículos que poseen los españoles. En este estudio, se quiere analizar estadísticamente el tipo de vehículo que tienen los españoles (coche o moto). Según los datos recogidos, sabemos:

  1. Calcula la probilidad de que tenga coche.

El enunciado nos da los siguientes datos:

\(P(C/M)=\frac{P(M \cap C)}{P(M)}\), despejando obtenemos \(P(M \cap C)=P(C/M) \cdot P(M)=0.5 \cdot 0.4=\) 0.2
Ahora que tenemos \(P(M \cap C)=0.2\), podemos obtener \(P(C)\):
\(P(M \cup C) = P(M) + P(C) - P(M \cap C)\), por tanto \(P(C) = P(M \cup C) - P(M) + P(M \cap C) = 0.8 - 0.4 + 0.2 =\) 0.6

\(P(C)=\) 0.6

  1. Calcula la probabilidad de que tenga moto y no tenga coche.

Se pide calcular \(P(M \cap \overline{C})\)
\(P(M \cap \overline{C}) = P(M) - P(M \cap C) = 0.4 - 0.2=\) 0.2

\(P(M \cap \overline{C})=\) 0.2

  1. Tenemos un conductor de coche, calcula la probabilidad de que tenga moto.

Se pide calcular \(P(M/C)\)
\(P(M/C)=\frac{P(M \cap C)}{P(C)}=\frac{0.2}{0.6}=\) 0.3333333
\(P(M/C)=\) 0.3333333

  1. Tenemos un conductor que no tiene coche, calcula la probabilidad de que tenga moto.

En este caso tenemos que calcular \(P(M/\overline{C})\) \(P(M/\overline{C})=\frac{P(M \cap \overline{C})}{P(\overline{C})}\)
Para resolverlo necesitamos:
* \(P(M \cap \overline{C})\), que hemos calculado en el apartado 2: \(P(M \cap \overline{C}) = P(M) - P(M \cap C) = 0.4 - 0.2=\) 0.2
* \(P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0.6 =\) 0.4
Ahora podemos resolver:
\(P(M/\overline{C})=\frac{P(M \cap \overline{C})}{P(\overline{C})}=\frac{0.2}{0.4}=\) 0.5

\(P(A/\overline{B})=\) 0.5

2 Variable aleatoria normal

Se quiere hacer un estudio estadístico en el parque Abelardo Sánchez de Albacete. En este estudio, se analizará la altura de los pinos del parque. La altura media de los pinos del parque es de 20 metros, con una desviación típica de 2 metros.

  1. Calcula la probabilidad de uno de los pinos mida menos de 18.5 metros.

\(P(X\leq 18.5)\)=

pnorm(18.5,20,2)
## [1] 0.2266274

  1. Calcula la probabilidad de que la altura de un pino esté entre 22 y 24 metros.

\(P(22\leq X\leq 24)=P(X\leq 24)-P(X\leq22)=\)

pnorm(24,20,2)-pnorm(22,20,2)
## [1] 0.1359051

  1. Teniendo un pino que estamos seguros que mide más de 15 metros, calcula la probabilidad de que su altura no alcance los 19 metros.

\(P(X\leq19 / X\geq 15)=\frac{P(X\leq19) \cap P(X\geq 15)}{P(X\geq 15)}=\frac{P(15\leq X\leq 19)}{P(X\geq 15)}=\frac{P(X\leq 19)-P(X\leq 15)}{P(X\geq 15)}=\frac{pnorm(19,20,2)-pnorm(15,20,2)}{1-pnorm(15,20,2)}=\)

( pnorm(19,20,2) - pnorm(15,20,2) ) / ( 1 - pnorm(15,20,2) )
## [1] 0.304217

  1. Calcula el intervalo de alturas (centrado en la media) que incluya al 60% de los pinos.

Al ser un intervalo centrado en la media, sabemos que la mitad del conjunto (60/2=30%) estará por debajo de la media y la otra mitad estará por encima. Una vez que hemos dibidido en dos el intervalo, sabemos que ocupará un 30% del 50% de los valores, por tanto el 20% quedarán fuera del intervalo. Sabiendo esto, calculamos el cuantil del 20%, ya que esto nos dará el valor primer valor del intervalo, que llamaremos “a”.

a = qnorm(0.2,20,2)
a
## [1] 18.31676

Ahora que tenemos el primer valor del intervalo, sabiendo que está centrado en la media, podemos obtener el último valor del intervalo (que llamaremos “b”):
b=20 + (20 - a)=21.6832425
Podemos comprobar que hemos calculado bien el intervalo comprobando que \(P(a\leq X\leq b)=0.6\)

pnorm(b,20,2)-pnorm(a,20,2)
## [1] 0.6

Por tanto sabemos que los pinos que miden entre 18.3167575 y 21.6832425 representan el 60% del total de los pinos.

3 Variables aleatorias mixtas

He salido a pasear mientras juego a Pokémon, supongamos que mi paseo a durado t horas, y pongamos que capturo 0.5t Pokemon durante el paseo.

  1. Probabilidad de que capture 3 pokemon en un paseo de 2 horas y media

\(\lambda = 0.5t\)
\(P(X = 3)\)

dpois(3,0.5*2.5)
## [1] 0.09326328

  1. Un pokemon tiene de media 150 puntos de vida, con 50 puntos de desviación. Dibuja la gráfica que represente esta distribución y además calcula la vida mínima de un pokemon para estar en el 25% con más vida.

Para que esté en el 25% con más vida, significa que va a ser superior al 75% de la vida del resto de pokemon por lo que tendremos que calcular el cuantil.

qnorm(0.75,150,50)
## [1] 183.7245

Para dibujar la gráfica cogemos valores para el eje X y usamos la funcion ‘plot’.

x<-seq(0,350,0.1)
plot(x,dnorm(x,150,50),type="l")

  1. Teniendo en cuenta los datos del apartado anterior, cual será la mediana de la gráfica que hemos dibujado.

Para este apartado debemos de tener clara la teoría y qué es lo que nos piden.
-La mediana es el valor que queda en el medio cuando todos los datos están ordenados.
Como hemos sacado la gráfica, se ve a simple vista que la media y la mediana conciden, pero aunque no hubieramos sacado la gráfica, también sabríamos la mediana sin necesidad de calcularla, ya que en distribuciones normales,
LA MEDIA Y LA MEDIANA COINCIDEN.

  1. Estás buscando un pokemon muy difícil de conseguir, su aparición la tiene programada el juego de manera que sigue una distribución exponencial con una media de 0.05 encuentros cada 3 horas.
    ¿Cuál es la probabilidad de que si lo has estado buscando 30min sin suerte, siga sin aparecer en los siguientes 30?

Este problema también tiene un poco de trampa, ya que dice 0.05 encuentros de media cada 3h por lo que la media por hora será 0.05/3 que es con lo que vamos a trabajar. Además esta distribución no tiene memoria, lo que quiere decir que si tienes X intentos fallidos, supongamos que el intento correcto es el X+n, la probabilidad de X+n sera la misma que la de n, o lo que es lo mismo, es igual que empezar a contar de 0, sabiendo esto la probabilidad de que aparezca en los siguientes 30 es como esta. \(P(X>30)\)

1-pexp(0.5,0.05/3)
## [1] 0.9917013

También se puede hacer con el parámetro lower.tail que nos dice si queremos calcular por encima o por debajo del punto dado.

pexp(0.5,0.05/3,FALSE)
## [1] 0.9917013

La probabilidad de no encontrarlo en ese periodo es de casi el 100%.