1 Probabilidad

Sabemos que la probabilidad de que apruebes la asignatura de Estadística es de 0.5 y de que apruebes Estadistica y Redes es de 0.3. Además la probabilidad de que apruebes Estadistica sabiendo que has aprobado Redes es 0.4.

Definiremos aprobar Estadística como \(P(A)\) y aprobar Redes como \(P(B)\)

\(P(A)=0.5\), \(P(A \cap B)=0.3\) y \(P(A/B)\)=0.4.

1.Calcula la probabilidad de que no apruebes Estadistica

\(P(A^c)= 1 -P(A) =\) 1 - 0.5 = 0.5

2.Calcula la probabilidad de que apruebe Redes.

\(P(A/B)=P(A\cap B)/P(B)\), despejando tenemos \(P(B)=P(A\cap B) /P(A/B)\), por lo que \(P(B)\)= 0.3 / 0.4 = 0.75

3.Calcula la probabilidad de que apruebes Estadistica o Redes

\(P(A\cup B)\) = \(P(A) + P(B) - P(A\cap B)\) = 0.5 + 0.75 - 0.3 = 0.95

4-Calcula la probabilidad de que no apruebes Redes sabiendo que si has aprobado Estadistica. Son suceos independientes.

\(P(B^c / A)\) = \(P(A\cap B^c) / P(A)\)
\(P(B^c)=1 -P(B) =\) 0.25

\(P(A\cap B^c) = P(A) * P(B^c)\)
\(P(B^c / A) = (0.5 * 0.25) / 0.5=\) 0.25

5.Sabiendo que no has aprobado Estadistica, calcula la probabilidad de que apruebes Redes

\(P(B / A^c)\) = \(P(A^c\cap B) / P(A^c)\) = (0.5 * 0.75) / 0.5 = 0.75

2 Variable aleatoria binomial

Un equipo de futbol se ha matriculado en la liga del trofeo rector de la UCLM. Sabemos que la probabilidad de que gane un partido es de 0.7 y que la liga esta compuesta de 8 jornadas.
\(X-Bi(8,0.7)\)

  1. Calcula la probabilidad de que gane 2 o más partidos

\(P(X\geq 2)\)= \(1- P(X\leq 2)\)

1 - pbinom(2,8,0.7)
## [1] 0.9887078
  1. Calcula la probabilidad de que no gane ningún partido

\(P(X=0)\)

dbinom(0,8,0.7)
## [1] 6.561e-05

  1. Calcula la probabilidad de que gane 4 o menos partidos
    \(P(X\leq 4)\)
pbinom(4,8,0.7)
## [1] 0.1941044

  1. Calcula la probabilidad de ganar 7 o más partidos, habiendo ganado al menos 3 partidos

\(P((X\geq 7)/(X\geq 3)) = P(X\geq 7)/ P(X\geq 3) = 1-P(X\leq 7)/ 1-P(X\leq 3)\)

(1-pbinom(7,8,0.7))/(1-pbinom(3,8,0.7))
## [1] 0.06119536

***

3 Distribuciones de probabilidad

En un comedor social están repartiendo distintos tipos de platos para niños y adultos, uno de ellos consta de un cuenco de sopa. Esta repartición de sopa sigue una distribución normal de media 33cl. y desviación típica 2.

  1. Los cocineros administran aquellos cuencos que contienen 32 cl. a los niños menores, dejando así los que tienen más sopa para los adultos. Calcula la proporción de cuencos que van para estos niños.

\(X-N(33,2)\)
\(P(X< 32)=P(\frac{X-33}{2}<\frac{32-33}{2})=P(Z<- 0.5)=P(Z> 0.5)= 1-P(Z< 0.5)\)= 1-pnorm(0.5) = 0.3085375

  1. Si tomamos 8 cuencos de sopa aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de esos cuencos vaya para los niños?

\(X-Bi(8,0.3085375)\)

\(P(X=0)\)=dbinom(0,8,0.3085375)=0.0522576

  1. Ahora tomamos 600 cuencos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 150 cuencos sean para niños?

\(X-Bi(600,0.3085375)\)
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL SE PUEDE APROXIMAR POR UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE MEDIA: μ=n·p=600·0.3085375=185.1225
Y DESVIACIÓN TÍPICA \(σ= \sqrt (n*p*q)\)=\(\sqrt(600*0.3085375*0.6914625)\)=11.31394125

\(X-N(185.1225,11.31394125)\)= \(P(X\geq150)=P(\frac{X-185.1225}{11.31394125}\geq\frac{150-185.1225}{11.31394125})=P(Z\geq- 3.104355876)=P(Z\leq 3.104355876)\)=pnorm(3.104355876)=0.9990465

  1. Si quisieramos que solo un 5% de los cuencos de sopa tuvieran 32cl. ¿Cuál sería el volumen medio al que habría que ajustar la repartición?

Tenemos que calcular la media μ, hay que tipificar. \(X-N(μ,2)\)
\(P(X< 32)=P(\frac{X-μ}{2}<\frac{32-μ}{2})=P(Z<\frac{32-μ}{2})=0.05)\)
\(\frac{32-μ}{2}\)=qnorm(0.05,0,1)=-1.6448536
\(μ\) = -(qnorm(0.05,0,1) * 2 -32) = 35.2897073

4 Enlace al video

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