1 Probabilidad

Se van a realizar elecciones a delegado de clase y, como candidatos, se han presentado Fares, Cache y Pablo. En una encuesta a “pie de pasillo”, hemos determinado que un 57% de los alumnos van a votar a Cache o a Pablo, y que un 30% de los alumnos votará a Cache. Además, estas elecciones tendrán record de participación, pues todos los alumnos emitirán un voto.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno vaya a votar a Fares?

Sabemos que \(P(C \cup P)=0.57\) y \(P(C)=0.30\), y como \(P(C \cap P) = 0\), pues no es posible votar a dos personas a la vez, entonces

\(P(C \cup P) = 0.57 = P(P) + P(C) = P(P) + 0.3 \Leftrightarrow P(P) = 0.27\)


Con esto,
\(P(F) = 1 - P(P) - P(C) = 1 - 0.27 - 0.3 = 0.43\)

  1. ¿Y la probabilidad de que un alumno vote a Fares o Pablo?

Con las probabilidades obtenidas en el apartado anterior, calculamos \(P(P \cup F) = P(P) + P(F) - P(P \cap F) = P(P) + P(F) = 0.27 + 0.43 = 0.70\)


  1. Si seleccionamos a 5 alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 de ellos vayan a votar a Fares?

Sea X:‘número de alumnos que van a votar a Fares’, entonces \(X \sim Bi(5, 0.43)\) y calculamos \(P(X=2)=\)

dbinom(2,5,0.43)
## [1] 0.3424219


  1. ¿Y la probabilidad de que, de otros 5 alumnos, 3 o más voten a Pablo?

Ahora, sea X:‘número de alumnos que van a votar a Pablo’, entonces \(X \sim Bi(5, 0.27)\) y calculamos \(P(X\ge3)=\)

pbinom(2,5,0.27,FALSE)
## [1] 0.1257232

2 Variables aleatorias

En la universidad de Albacete se planea inaugurar una estación de radio local llamada EsiiCast. Dada la limitada cobertura de recursos, esta estación solo podrá transmitir dentro de su comunidad autónoma. Por lo tanto, se ha establecido que la frecuencia de transmisión estará restringida a un rango entre 24 MHz y 42 MHz.

Sea X la frecuencia de transmisión de la estación de radio y sea la función de densidad de probabilidad de X la siguiente:

\[\cal{f(x)}=\left\{ \begin{array}{lll} {\frac{(3x+2x^2)}{41958}}\qquad 24<x<42\\ 0 \qquad Otro \ caso \\ \end{array} \right. \]

1.Determina la desviación típica de la frecuencia de transmisión.

Media

\(\mu_x=\int_{-\infty}^{+\infty}x*f(x)dx=\int_{24}^{42}x* \frac{(3x+2x^2)}{41958}=\)

integrate(function(x) (x)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value
## [1] 34.56371

Varianza

\(\sigma_x^2=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2*f(x)dx -\mu_x^2=\int_{24}^{42}x^2*\frac{(3x+2x^2)}{41958}dx -(34.56371^2)=\)

integrate(function(x) (x^2)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value -(integrate(function(x) (x)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value)^2
## [1] 25.05521

Desviación Típica

\(\sigma_x=\sqrt (\sigma_x^2)=\sqrt 25.05521=\)

sqrt(integrate(function(x) (x^2)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value -(integrate(function(x) (x)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value)^2)
## [1] 5.005518


  1. Determina la función de distribución de las frecuencias de transmisión.

\(F(x)=P(x\leq X)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{24}^{x}\frac{(3x+2x^2)}{41958}dx=\frac{1}{41958}*\left[\frac{3x^2}{2}+\frac{2x^3}{3}\right]_{24}^{x}=\frac{1}{41958}*\left(\frac{3x^2}{2}+\frac{2x^3}{3}\right)-10080\quad24<x<42\)

\[\cal{f(x)}=\left\{ \begin{array}{lll} {0}\qquad x<24\\ \frac{1}{41958}*\left(\frac{3x^2}{2}+\frac{2x^3}{3}\right)-10080 \qquad 24<x<42 \\ 1\qquad x\geq 42 \end{array} \right. \]


  1. Calcula el percentil 25.

Igualar la función de distribución a 0.25 y resolver.

Despejar la X.

\(\frac {1}{41958}* \left(\frac{3x^2}2+\frac{2x^3}3\right)-10080=0.25\\\)
\(\left(\frac{3x^2}2+\frac{2x^3}3\right)-10080=0.25*41958\\\)
\(\frac{3x^2}2+\frac{2x^3}3-20569.5=0\\\)
\(9x^2+4x^3-123417=0 \rightarrow x=30.6321459\\\)


4. Calcular \(P(x<28/x<37)\)

\(\\P(x<28/x<27)=\frac{P(x<28\cap x<37)}{P(x<37)}=\frac{P(x<28)}{P(x<37)}\)

\(P(x<28)=\\\)

integrate(function(x)((3*x+2*x^2)/41958),24,28)$value
## [1] 0.136581

\(P(x<37)=\\\)

integrate(function(x)((3*x+2*x^2)/41958),24,37)$value
## [1] 0.6135223

\(\frac{P(x<28)}{P(x<37)}=\\\)

integrate(function(x)((3*x+2*x^2)/41958),24,28)$value/integrate(function(x)((3*x+2*x^2)/41958),24,37)$value
## [1] 0.2226179

3 Distribución de probabilidad exponencial

Pablo Lirio y José Juan tienen que coger el autobús todas las mañanas para ir a la Universidad del Castillo Manchado. La línea que deben coger es la AAb45. Pablo y José Juan salen una mañana de casa y se sientan a esperar en la parada de su barrio. Sabemos que la línea pasa por la parada, de media, cada 20 minutos.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que esperen más de 15 minutos?
    Como el autobús tarda, de media, 20 minutos en pasar por la parada, el tiempo de vida sigue una distribución exponencial con \(\mu = \frac{1}{\lambda} \Leftrightarrow 20 = \frac{1}{\lambda} \Leftrightarrow \lambda = 0.05\)

\(P(X > 15) =\)

1-pexp(15, 0.05)
## [1] 0.4723666


  1. El autobús no llega y José Juan decide ir andando. Pero Pablo, que es un poco vago, prefiere esperar sentado, a pesar de llegar tarde a clase y perderse su asignatura favorita (el recreo). ¿Cuál es la probabilidad de que Pablo espere, como mucho, 20 minutos al autobús?

\(P(X < 20) = P(X\leq 20) =\)

pexp(20, 0.05)
## [1] 0.6321206


  1. Pablo lleva esperando 25 minutos y el autobús no llega. ¿Cuál es la probabilidad de que éste llegue en los próximos 20 minutos?

\(P(X < 45/X > 25) = \frac{P(X > 25 \cap X < 45)} {P(X>25)}=\frac{P(X<45)-P(X<25)}{P(X>25)}=\)

(pexp(45, 0.05)-pexp(25, 0.05))/(1-pexp(25, 0.05))
## [1] 0.6321206

Nótese que \(P(X < 45/X > 25) = P(X < 20)\), debido a la propiedad de pérdida de memoria de la distribución exponencial.


  1. Finalmente, debido a retrasos imprevistos (el autobusero bajó al bar a echarse un café), el autobús acabó llegando a los 32 minutos. Pablo sube y, durante el trayecto, dado que se le da muy bien estadística, determina que la mediana de la distribución del tiempo de espera al autobús es 23.45347 minutos. ¿Es correcto o va a suspender estadística?

Debemos determinar el valor M, tal que \(P(X<M) = 0.5\).

qexp(0.5, 0.05)
## [1] 13.86294

Por tanto, Pablo va a suspender estadística.

Vídeo con las explicaciones.