1 Probabilidad

Dos sucesos cumplen que \(P(A^c)=0.2\), \(P(B)=0.6\), \(P(A \cup B)=0.92\).

  1. Calcula la probabilidad de A.

Sabiendo que \(P(A^c)=0.2\), \(P(A)=0.8\) al haber hecho la operación 1-0.2.

  1. Calcula \(P(A\cap B)\).

Para poder calcular la intersección debemos tener en cuenta que: \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\), conocemos \(P(A)=0.8\), \(P(B)=0.6\), y \(P(A\cup B)=0.92\), calculamos y obtenemos: \(P(A\cap B)=0.8+0.6-0.92=0.48\)

  1. Calcula \(P(A/B^c)\)

\(P(A / B^c)=\frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}\). Sabemos que \(P(A\cap B^c)= P(A)-P(A\cap B)\), esto es: 0.8-0.48= 0.32. Ahora sí podemos calcular: \(P(A / B^c)=\frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}=0.32 / (1-0.6) = 0.32 /0.4 = 0.8\)

  1. Calcula \(P(B^c/A^c)\).

\(P(B^c / A^c)=\frac{P(B^c \cap A^c)}{P(A^c)}\). Sabemos que \(P(B^c\cap A^c)= 1-P(A\cup B)\), esto es: 1-0.92= 0.08 Ahora sí podemos calcular: \(P(B^c / A^c)=\frac{P(B^c \cap A^c)}{P(A^c)}= 0.08 / 0.2 = 0.4\)

2 Variable aleatoria discreta

En una clase de programación varios alumnos han desarrollado un programa y lo han ejecutado muchas veces. Los alumnos han escogido 5 de estas ejecuciones para comprobar si el programa falla en la ejecución o no.

Siendo X una variable aleatoria discreta que es el número de ejecuciones fallidas con los valores posibles x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Sabiendo que:

\(P(X=0)=0.8\) , \(P(X=1)=0.1\) , \(P(X=2)=0.04\) , \(P(X=3)=0.03\) , \(P(X=4)=0.02\) , \(P(X=5)=0.01\)

Cuestiones:

  1. Calcula la varianza y la media de X.

MEDIA: \(0 *P(X = 0) + 1 * P( X = 1 ) + 2* P(X = 2)+3* P(X=3)+4*P(X=4)+5*P(X=5)\)

sum(0*0.8,1*0.1,2*0.04,3*0.03,4*0.02,5*0.01)
## [1] 0.4

VARIANZA: \((0^2 *P(X = 0) + 1^2 * P( X = 1 ) + 2^2 * P(X = 2)+3^2 * P(X=3)+4^2 *P(X=4)+5^2 *P(X=5))* 0.4^2\)

sum(0^2*0.8,1^2*0.1,2^2*0.04,3^2*0.03,4^2*0.02,5^2*0.01)*sum(0*0.8,1*0.1,2*0.04,3*0.03,4*0.02,5*0.01)^2
## [1] 0.176
  1. Calcula la probabilidad de que como mínimo dos ejecuciones fallen.

\(P(X\geq 2)=1 - (P(X=0) + P(X=1))\)

1-sum(0.8,0.1)
## [1] 0.1

Otra opción es sumar todas las probabilidades mayores o iguales que X=2.

\(P(X\geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)\)

sum(0.04,0.03,0.02,0.01)
## [1] 0.1
  1. Calcula la probabilidad de que fallen dos o menos ejecuciones:

\(P(X\leq 2)= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\)

sum(0.8,0.1, 0.04)
## [1] 0.94
  1. Calcula la probabilidad de que haya como mínimo cuatro ejecuciones fallidas si sabemos que ya hay más de una ejecución que ha fallado.

\(P(X\geq 4/X>1)=\frac{P(X\geq4)}{P(X>1)}\)

sum(0.02,0.01) / sum(0.04,0.03,0.02,0.01)
## [1] 0.3

3 Distribuciones de probabilidad

Jorge acaba de abrir una cafetería cerca del parque Abelardo de Albacete y ofrece, aparte de cafés, tés e infusiones, unas hamburguesas especiales llamadas “Brutal Burguers”.La probabilidad de que exactamente a un cliente nuevo le guste la Brutal Burguer es de 0.8. Si vienen 3 nuevos clientes a su cafetería, queremos calcular las siguientes probaibilidades:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que exacatamente a dos de ellos les guste la hamburguesa?

¿P(x=2)?

Como dbninom(a,b,c) devuelve la probabilidad P(x=a), es decir, que una variable aleatoria X con distribución binomial(b=3, c=0.8) tome el valor a(en este caso 2)

 dbinom(2,3,0.8) 
## [1] 0.384

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos a 2 de ellos les guste la hamburguesa?

¿P(x>1)? Como pbinom(a,b,c) devuelve la probabilidad P(x<=a) y nos interesa saber la probabilidad de los valores que son mayores que 1, pues le restamos a 1(100% de probabilidad) la probabilidad de los valores sean menores o iguales a 1:

 1 - pbinom(1,3,0.8)
## [1] 0.896

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que a menos de 3 de ellos les guste la hamburguesa?

¿P(x<3)?

Como pbinom(a,b,c) devuelve la probabilidad P(x<=a) y nos interesa saber la probabilidad de los valores que son menores que 3, pues cogemos la probabilidad de que los valores sean menores o iguales a 2:

 pbinom(2,3,0.8)
## [1] 0.488

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente a un cliente le guste la hamburguesa?

¿P(x=1)?

Como dbninom(a,b,c) devuelve la probabilidad P(x=a), es decir, que una variable aleatoria X con distribución binomial(b=3, c=0.8) tome el valor a(en este caso 1)

 dbinom(1,3,0.8)
## [1] 0.096

4 Video

Enlace al video explicando y resolviendo los ejercicios: Video Trabajo 1