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1 Probabilidad

Se cumple que \(P(A \cup B)=0.7\), \(P(A)=0.4\) y \(P(B)=0.3\). Sabiendo que son independientes , calcula:

  1. \(P(B/A)\)

    \(P(B\cap A) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.3 = 0.12\)

    \(P(B/A)\) = \(\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\) = \(0.12/0.4\) = \(0.3\)

  2. \(P(B\cap A^c)\)

    \(P(A^c) = 1-P(A) = 1 - 0.4 = 0.6\)

    \(P(B\cap A^c) = P(B) * P(A^c) = 0.3 * 0.6 = 0.18\)

  3. \(P(B/A^c)\)

    \(P(B/A^c)\) = \(\frac{P(B\cap A^c)}{P(A^c)}\) = \(0.18/0.6\) = \(0.3\)

  4. \(P(A/B^c)\)

    \(P(B^c) = 1-P(B) = 1 - 0.3 = 0.7\)

    \(P(A\cap B^c) = P(A) * P(B^c) = 0.4 * 0.7 = 0.28\)

    \(P(B/A^c)\) = \(\frac{P(A\cap B^c)}{P(B^c)}\) = \(0.28/0.7\) = \(0.4\)

2 Variable aleatoria exponencial

Sean X una variable exponencial de media 5.

  1. Calcula la probabilidad de que X sea menor o igual de 4.

\(P(X\leq 4 )\)=

pexp(4,1/5)
## [1] 0.550671

  1. Calcula la probabilidad de que X sea mayor de 5.

\(P(X> 5)=1-P(X\leq 5)\)=(1-pexp(5,1/5))=0.3678794

(1-pexp(5,1/5))
## [1] 0.3678794

  1. Calcula la probabilidad de que X sea mayor de 5 sabiendo que es mayor de 4.

\(P(X> 5/X>4)\frac{P(X>5)}{P(X>4)}=\frac{1-P(X\leq5)}{1-P(X\leq4)}\)=(1-pexp(5,1/5))/(1-pexp(4,1/5))=0.8187308

(1-pexp(5,1/5))/(1-pexp(4,1/5))
## [1] 0.8187308

  1. Calcula la mediana de la variable X.

Tenemos que calcular M tal que \(P(X<M)=0.5\) con r se puede hacer directamente así, qexp(0.5,1/5)=3.4657359. Lo podéis comprobar haciendo pexp(qexp(0.5,1/5),1/5)=0.5

qexp(0.5,1/5)
## [1] 3.465736

pexp(qexp(0.5,1/5),1/5)
## [1] 0.5

3 Estadística descriptiva

A final del cuatrimestre pasado se realizo una encuesta a los alumnos de primero para medir su rendimiento en la asignatura de calculo. Tras analizar la encuesta se observó que la la media de las notas fue de 5,5 y una desviación de 6.

Suponiendo que X = una variable aleatoria que representa la nota obtenido por el estudiante.

X~N(5.5,6)

  1. Calcular el segundo cuartil.

Segundo cuartil

qnorm(0.5, 5.5, 6)
## [1] 5.5
  1. Calcular la probabilidad de obtener una puntuación mayor a 8.

P(X > 8)

1 - pnorm(8, 5.5, 6) 
## [1] 0.3384611
  1. Calcular la probabilidad de obtener un puntuación entre 4 y 6.

P(4 < X < 6)=P(X < 6)-P(X < 4)

pnorm(6, 5.5, 6)-pnorm(4, 5.5, 6) 
## [1] 0.1319131
  1. Calcular la probabilidad de obtener una puntuación mayor o igual a 5.

P(X >= 5)

pnorm(5,5.5,6)
## [1] 0.4667932