Plantilla para los trabajos
Vídeo: https://youtu.be/WwgGAa8u9a8.
Supongamos que una cafetería tiene la siguiente composición de clientes: El 60% son adultos y el 40% son niños. De los adultos el 25% son mujeres y el 75% son hombres. De los niños el 50% son niñas y el 50% son niños. Pero también sabemos que el 15% de las mujeres adultas y el 10% de los hombre adultos toman café. El 5% de las niñas y el 8% de los niños ordenan algún tipo de bebida en la cafetería. La probabilidad de que un adulto sufra un percance es del 2% mientras que de los niños es del 3%.
Suponemos: Adultos=A, Niños=N, Hombres=H, Mujeres=M, Cafe=C, Bebida=B, Accidente=Acc
Un adulto que no pida cafe: \(P(C^c / A)=\frac{P(C^c \cap A)}{P(A)}=\frac{0.5325}{0.6}=0.8875\) \(P(C^c \cap A)=P(A)-P(A \cap C)=0.6-(0.6*(0.25*0.15+0.75*0.1))=0.5325\)
Mujer ha pedido un café y sufre un accidente: \(P(A \cap M \cap C \cap Acc)=P(A) * P(M / A) * P(C / M) * P(Acc / A)=0.6*0.25*0.15*0.02=0.00045\)
Niño sin bebida y que sufra un accidente: \(P(Niños \cap Niño \cap B^c \cap Acc)=P(Niños)*P(Niño/Niños)*P(B^c / Niño)*P(Acc / Niños)=0.4*0.5*(1-0.08)*0.03=0.00552\)
Hombre que no sufra un accidente: \(P(A \cap H/A \cap Acc^c)=P(A)*P(H / A)*P(C / HA)*P(Acc^c / A)+P(A)*P(H / A)*P(C^c / HA)*P(Acc^c / A)=0.6*0.75*0.1*(1-0.02)+0.6*0.75*(1-0.1)*(1-0.02)=0.441\)
En una fábrica de juguetes se tiene una normativa de que aquellos juguetes destinados a niños deben tener un tamaño entre 5 y 30 centímetros. Sea X el tamaño de los juguetes. Siendo la función de densidad de la probabilidad de X la siguiente:
\(f(X)=(\frac{x^2-x}{10000})\) si
\(5\leq X\leq 30\)
\(f(X)=1\) en otro caso
\(P(5\leq X\leq 30)=\) \(\int_{5}^{30} \frac{x^2-x}{10000}dx=\) \(\frac{1}{10000} \int_{5}^{30} (x^2-x)dx=\) \(\frac{1}{10000} [\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}]_{5}^{30}=\) \(\frac{1}{10000}(8550-29.17)=\) \(\frac{1}{10000}(8520.83)=0.852083\)
\(P(10\leq X\leq 20)=\) \(\int_{10}^{20} \frac{x^2-x}{10000}dx=\)\(\frac{1}{10000} \int_{10}^{20} (x^2-x)dx=\)\(\frac{1}{10000}[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}]_{10}^{20}=\)\(\frac{1}{10000}(2466.67-283.33)=0.218334\)
\[F(X)=\int_{5}^{x} \frac{t^2-t}{10000}dx=\frac{1}{10000} \int_{5}^{x}(t^2-t)dx=\frac{1}{10000}[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}]_{5}^{x}=\frac{1}{10000}[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-29.16]=\frac{x^3}{30000}-\frac{x^2}{20000}-\frac{29.16}{10000}\]
\(F(x)=\frac{x^3}{30000}-\frac{x^2}{20000}-\frac{29.16}{10000}\)
\(P(x>25)=\)\(1-P(X<25)=1-\int_{5}^{25}\frac{x^2-x}{10000}dx=\)\(1-\frac{1}{10000}[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}]_{5}^{25}=\) \(1-\frac{1}{10000}(4895.83-29.16)=1-0.48667=0.51333\)
El tiempo medio de ensamblaje de un automóvil en una empresa determinada sigue una distribución normal, con una media de 15 horas por coche y desviación típica de 4 horas.
Siendo X = “tiempo medio de ensamblaje de un coche”, tenemos que X~(15, 4)
Por lo tanto, \(P(18<X<20)=P(X<20)-P(X<18)=\)pnorm(20,15,4)-pnorm(18,15,4)=0.1209776
En el segundo caso, \(P(X=7)=0\) ya que es una distribución continua.
\(P(X<17/X>14)=\frac{P(14<X<17)}{P(X>14)}=\frac{P(X<17)-P(X<14)}{1-P(X\leq14)}=\)(pnorm(17,15,4)-pnorm(14,15,4))/(1-pnorm(14,15,4))=0.4846596
Para el percentil 40 estamos buscando un valor \(t\) tal que \(P(X\leq t)=0.40\)
Por lo tanto, \(t=\)qnorm(0.40,15,4)=13.9866116
Tenemos que la media de nuestra distribución es 15, por lo tanto buscamos un intervalo tal que \(P(15-k\leq X\leq 15+k)=0.8\)
Esa expresión es equivalente a \(P(X\leq15+k)-P(X\leq15-k)\), y sabemos que \(P(X\leq15-k)=P(X\ge15+k)=1-P(X\leq15+k)\), así que sustituyendo: \(P(X\leq15+k)-P(X\leq15-k)=P(X\leq15+k)-1+P(X\leq15+k)=2*P(X\leq15+k)-1\)
\(2*P(X\leq15+k)-1=0.8\)
\(P(X\leq15+k)=\frac{0.8+1}{2}=0.9\)
Igual que hemos hecho en el
apartado anterior, tenemos que \(15+k=\)qnorm(0.9,15,4) =
20.1262063, por lo que \(k\) =
20.1262063 - 15 = 5.1262063
Para sacar nuestro intervalo solo tendremos que sumarle y restarle a la media el valor de \(k\): intervalo = (9.8737937, 20.1262063)