Probabilidad

Sucede que a pesar de haber tomado medidas de precaución, lastimosamente tu experimento falló y se generaron dos agujeros negros de manera consecutiva en vez de un único agujero negro. Las probabilidades de que se generasen por separado son: \(P(A)=0.4\), \(P(B)=0.1\) y de manera inaudita obsevamos que mantienen un estado de equilibrio central entre ellas: \(P(A \cap B)=0.3\).

  1. Calcula la probabilidad de la unión de ambos agujeros negros, lo cual hubiera significado un éxito de experimento .

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) , tal que sustituyendo tendremos: -> \(P(A \cup B) = (0.4\ + \ 0.1) - 0.3 = 0.2\)

  1. Calcula \(P(A^c\cup B^c)\).

Como bien sabemos del apartado anterior: \(P(A\cup B) = 0.2\), sabemos que solo queda calcular su complementario, por ende: \(P(A^c\cup B^c)= 1- P(A\cup B) = 1-0.2 = 0.8\)

  1. Por alguna extraña razón, tras aceptar tu destino te propones algún que otro cáculo, como es el siguiente: \(P(A\cap B)/ P(B)\)

Aunque pueda parecer complicado, en verdad es más sencillo de lo que parece dado que sabemos ambos podemos simplemente aplicar la resolución: \(P(A\cap B)/ P(B) = 0.3\ / \ 0.1 = 0.3*10/1 = 3\)

  1. Al borde la muerte y del fin del mundo, te apetece determinar si los sucesos A y B son independientes, tal que:

Si son independientes, debe cumplirse según la fórmula: \(P(A \cap B)=0.3\) debe ser igual a \(P(A)P(B)=0.4*0.1=0.04\) y por ende concluir que al no ser iguales, no son independientes.

Variable aleatoria

Una empresa que fabrica motores de combustión ha creado una nueva gama de motores que para su correcto funcionamiento deben funcionar entre 50 y 150 revoluciones por segundo, los valores distintos no serán válidos. Si \(X\) es la potencia del motor según sus revoluciones y posee la función de densidad siguiente:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2}{3250000} & \text{si } 50 < x < 150 \\\\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \]

  1. Calcula la probabilidad de que las revoluciones sean menores a 100.

    \[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{3x^2}{3250000} dx = \int_{50}^{100} \frac{3x^2}{3250000} dx = 0.2692308 \]

f <- function(x) {{3*x^2}/{3250000}}
integrate(f, 50, 100)
## 0.2692308 with absolute error < 3e-15

  1. Calcula la esperanza de las revoluciones a las que funcionan los motores.

    \[ \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{50}^{150} x \cdot \left( \frac{3x^2}{3250000} \right) dx = \int_{50}^{150} \left( \frac{3x^3}{3250000} \right) dx = 115.3846 \]

g <- function(x) {x*{{3*x^2}/{3250000}}}
integrate(g, 50, 150)
## 115.3846 with absolute error < 1.3e-12

  1. Calcula la desviación típica.

    \[ \sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot \left( \frac{3x^2}{3250000} \right) dx - \mu^2 = \int_{50}^{150} \left( \frac{3x^4}{3250000} \right) dx - \mu^2 = 647.929 \]

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{647.929} = 25.454 \]

# Definición de la función j(x)
f <- function(x) { 3*x^2 / 3250000 }

# Cálculo de la esperanza matemática
media <- integrate(function(x) x * f(x), lower = 50, upper = 150)$value

# Cálculo de la varianza 
varianza <- integrate(function(x) x^2 * f(x), lower = 50, upper = 150)$value - (media^2)

# Cálculo de la desviación típica
sigma <- sqrt(varianza)

sigma
## [1] 25.45445

  1. Calcula la probabilidad de que las revoluciones se encuentren entre 80 y 120.

    \[ \int_{80}^{120} \frac{3x^2}{3250000} dx=0.37415 \]

h <- function(x) {{3*x^2}/{3250000}}
integrate(h,80,120)
## 0.3741538 with absolute error < 4.2e-15

Variable aleatoria binomial

En una gran empresa de sofware la tasa de que un proyecto sea un fracaso es de un 8%, dada la delicada situación económica quieren conocer las siguientes probabilidades sabiendo que el éxito o fracaso de cada proyecto es independiente, para poder decidir cuantos proyectos pueden tener al mismo tiempo en marcha sin execisivo riesgo.

  1. Calcula la probabilidad de que teniendo 25 proyectos en marcha 5 de ellos fracasen.

\(P(X=5)\)=

dbinom(5,25,0.08)
  1. Calcula la probabilidad de que teniendo 100 proyectos el número de fracasos será igual o menor que 10.

\(P(X\leq 10)\)=

pbinom(10,100,0.08)
  1. Calcula la probabilidad de que teniendo 25 proyectos el número de fracasos sea igual o menor a 10 u igual o mayor a 5.

\(P(5\leq X\leq 10)=P(X\leq 10)-P(X\leq 4)\)=

pbinom(10,25,0.08)-pbinom(4,25,0.08)

  1. Calcula la probabilidad de que iniciando 50 proyectos, 10 o más de ellos fracasen.

\(P(X\geq 10)=1-P(X\leq 9)\)=

1-pbinom(9,50,0.08)