1 Probabilidad

Extraemos una carta al azar de una baraja española de 40 cartas.

  1. Calcula la probabilidad de sacar un oro.

\(P(O)=\frac 1 4\), donde obtenemos que \(P(O)=0.25\).

  1. Calcula la probabilidad de que sea un oro o una espada \((P(O\cup E))\) suponiendo que \(P(O^c \cup E^c)=0.94\).

\(P(O\cup E) = P(O) + P(E) - P(O \cap E)\),sabemos,por el apartado anterior, que \(P(O) =0.25 = P(E)\) y que \(P(O \cap E)= 1 - P(O^c \cup E^c)=0.06\).De manera que, \(P(O\cup E)=0.25 + 0.25 - 0.06 = 0.44\).

  1. Calcula la probabilidad de extraer una espada sabiendo que anteriormente hemos extraído un oro \(P(E/O)\).

\(P(E / O)=\frac{P(E \cap O)}{P(O)}=0.06/0.25=0.24\).

  1. Demostrar que los sucesos O y E son independientes.

Para que sean independientes, debe cumplirse que \(P(O \cap E)=0.06\) debe ser igual a \(P(O)P(E)=0.25*0.25 \approx0.06\), también se podía comprobar antes porque \(P(E/O)=0.24 \approx P(E)=0.25\).

2 Variable aleatoria

1.Define la variable aleatoria X como el resultado del lanzamiento del dado. ¿Cuáles son los posibles valores que puede tomar X?

valores_X <- 1:6
valores_X
## [1] 1 2 3 4 5 6

2.Calcula la probabilidad de cada posible resultado de X y muestra la distribución de probabilidad en una tabla.

prob_X <- rep(1/6, 6)
tabla_prob_X <- data.frame(Valor_X = valores_X, Probabilidad = prob_X)
tabla_prob_X
##   Valor_X Probabilidad
## 1       1    0.1666667
## 2       2    0.1666667
## 3       3    0.1666667
## 4       4    0.1666667
## 5       5    0.1666667
## 6       6    0.1666667

3.1Calcula la media (μ) de la variable aleatoria X.

media_X <- mean(valores_X)
media_X
## [1] 3.5

3.2.Calcula la varianza (σ^2) de la variable aleatoria X.

varianza_X <- var(valores_X)
varianza_X
## [1] 3.5

4.Imagina que lanzas el dado dos veces y defines una nueva variable aleatoria Y como la suma de los resultados obtenidos en ambos lanzamientos. Define Y y enumera los posibles valores que puede tomar.

valores_Y <- 2:12
valores_Y
##  [1]  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12

4.2.Calcula la probabilidad de cada posible resultado de Y y muestra la distribución de probabilidad en una tabla. 

prob_Y <- rep(1/11, 11)
tabla_prob_Y <- data.frame(Valor_Y = valores_Y, Probabilidad = prob_Y)
tabla_prob_Y
##    Valor_Y Probabilidad
## 1        2   0.09090909
## 2        3   0.09090909
## 3        4   0.09090909
## 4        5   0.09090909
## 5        6   0.09090909
## 6        7   0.09090909
## 7        8   0.09090909
## 8        9   0.09090909
## 9       10   0.09090909
## 10      11   0.09090909
## 11      12   0.09090909

3 Ejercicio de Distribuciones de probabilidades(Poisson)

Nos encontramos en un centro de atención al cliente, en el que se recibe un promedio de 10 llamadas por hora. Se considera que el número de llamadas sigue una distribución de Poisson.

1.Probabilidad de que recibamos exactamente 8 llamadas en una hora. 

lambda <- 10 # Promedio de llamadas por hora

k <- 8 # Número de llamadas de interés

pm <- dpois(k,lambda)

cat(paste("Probabilidad de", k, "llamadas:", pm, "\n"))
## Probabilidad de 8 llamadas: 0.11259903214902

2.Posibilidad de que las llamadas sean menos de 5. 

k <- 4 # Llamadas de interes, ya que menos de 5 es igual a probabilidad de 4 o menos

p_menos <- ppois(k,lambda)

cat(paste("Probabilidad de menos de", k + 1, "llamadas:", p_menos, "\n"))
## Probabilidad de menos de 5 llamadas: 0.0292526880769611

3.Probabilidad de que el número de llamadas este entre 4 y 7. 

k <- 3 #Llamadas  minimas, debido a que 4 esta incluido.
l <- 7 #Tope de llamadas

p_entre <- ppois(l,lambda)-ppois(k,lambda)

cat(paste("Probabilidad entre ", k + 1," y ",l, " llamadas:", p_entre, "\n"))
## Probabilidad entre  4  y  7  llamadas: 0.209884595925773

4.Posibilidad de recibir mas de 15 llamadas en una hora. 

k <- 15 #Numero llamadas que hay que superar.

p_mayor <- (1-ppois(k,lambda))

cat(paste("Probabilidad mayor ", k, "llamadas:",p_mayor,"\n"))
## Probabilidad mayor  15 llamadas: 0.0487404033039788