Consideremos que se nos ofrecen dos sucesos: “El Real Madrid roba en un partido” y “El Granada desciende a Segunda División”. Para facilitar el trato de ambos sucesos los llamaremos M y G, y serán de un espacio muestral tal que \(P(M \cap G)=0.6\), \(P(M \cup G)=0.85\) y \(P(M)=0.7\).
1. La probabilidad de que el Granada baje a Segunda División.
La formula con la que sacaremos dicha probabilidad es la siguiente: \(P(M \cup G) = P(M) + P(G) - P(M \cap G)\). Ahora, sustituyendo, tenemos: \(0.85 = 0.7 + P(G) - 0.6\). Despejando, obtendríamos el resultado de: \(P(G)=0.75\).
2. La probabilidad de que el Real Madrid no robe y que el Granada no baje de división en la misma temporada (las dos al mismo tiempo).
La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos la podemos sacar desde la probabilidad de que ocurra ambos sucesos y restándole la probabilidad total: \(1-P(M \cap G)\) . Sustituyendo tenemos: \(1-0.6=\) 0.4.
3. La probabilidad de que el Granada baje de división sabiendo que el Real Madrid ha robado en un partido no influyente en el descenso del Granada.
Del enunciado podemos sacar la siguiente traducción a términos matemáticos: \(P(G|M)\) . Observamos que los sucesos son totalmente independientes en este caso ya que no están relacionados el uno con el otro. A sabiendas de eso, tenemos que: \(P(G|M)=P(G)\). Sustituyendo vemos que: \(P(G|M)=\) 0.75.
4. La probabilidad de que el Granada baje de división sabiendo que el Real Madrid le ha robado en un partido al Granada.
En este caso podemos diferenciar del anterior que los sucesos dependen el uno del otro ya que aquí el robado por el Real Madrid es el Granada, provocando su descenso: \(P(G|M)=P(G \cap M)/P(M)\). Sustituyendo obtendremos que: \(0.6/0.7=\) 0.8571429.
2. En la siguiente tabla tenemos la funcion de probabilidad del número de triples del jugador MrTartaria de la liga de baloncesto YFEPSTEIN elegidos aleatoriamente de 5 partidos
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.15 | 0.1 | 0.05 |
Calcula la probabilidad de que MrTartaria consiga menos de dos triples en el partido.
En este caso estamos buscando la probabilidad de que anote menos de dos triples en el partido, por lo que tenemos que sumar la probabilidad de que meta uno mas la probabilidad de que meta dos para que asi nos quede la probabilidad total de que meta menos de 2.
\(P(X < 2)\) = \(P(X=1)\) + \(P(X=0) = 0.1+0.2= 0.3\)
Calcula la probabilidad de que MrTartaria consiga 3 o mas triples en el partido
Este caso es parecido al anterior, pero al decirnos 3 o más, tambien tenemos que sumar la probabilidad de que anote 3 triples en el partido a las restantes, tambien lo podiamos hacer con la probabilidad total menos la probabilidad de que anote menos de 3.
\(P(X\geq3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0.15+0.1+0.05=0.3\)
En este caso nos basamos de la formula para calcular la media y sustituimos los valores.
\(Media = 0* P(X=0) + 1* P(X=1) + 2* P(X=2) + 3* P(X=3) + 4* P(X=4) + 5* P(X=5)=\)
\(= [(0*0.1) + (1*0.2) + (2*0.4) + (3*0.15) + (4*0.1) + (5*0.05)]= 2.1\)
Calcula la varianza
Nos basamos de la formula de la varianza en la que tendremos que saber previamente el valor de la media para calcularla.
\(Varianza= [(0-Media)^2 * P(X=0)) + (1-Media)^2 * P(X=1))\) +
\((2-Media) ^2 * P(X=2)) + (3-Media)^2 * P(X=3)) + (4-Media)^2 - P(X=4)) + (5-Media)^2 * P(X=5))]\)
\(Varianza=[ ((0-2.1)^2 * 0.1)) + ((1-2.1)^2 * 0.2)) + ((2-2.1)^2 * 0.4)) + ((3-2.1)^2 * 0.15)) + (4-2.1)^2 * 0.1)) + ((5-2.1)^2 * 0.05))]=1.59\)
Queremos analizar los siguientes 10 partidos en las eliminatorias de Copa del Rey y Champions League del Real Madrid en los que la posibilidad de ganar es 0.7 y de perder 0.3. Son independientes, es decir, que el Madrid gane los partidos no influye en el siguiente.
1. ¿Cuál la probabilidad de que gane 8 partidos?
\(P(X=8)= dbinom(8,10,0.7) =\)
dbinom(8,10,0.7)## [1] 0.23347442. ¿Cuál es la probabilidad de que no gane ninguno?
\(P(X=0)=dbinom(0,10,0.7)=\)
dbinom(0,10,0.7)## [1] 5.9049e-063. ¿Cuántos partidos nos indica la mediana que ganará el Real Madrid?
Mediana de \(P(X)=qbinom(0.5,10,0.7)=\)
qbinom(0.5,10,0.7)## [1] 74. ¿Probabilidad de que pierda, al menos, 2 partidos?
Tomando aqui, en vez de las posibilidades de ganar, las posibilidades de perder: \(P(X\geq2))=1-P(X\leq1)=1 - pbinom(1,10,0.3)=\)
1 - pbinom(1,10,0.3)## [1] 0.8506917Enlace a video con la explicación de todo el trabajo: Video con explicaciones