Trabajo 1
Contenidos: 1. Probabilidad, 2. Variable aleatoria. 3. Distribuciones de probabilidad.

Probabilidad

Sean dos sucesos de un espacio muestral tales que \(P(A \cup B)=0.6\), \(P(A \cap B)=0.1\) y \(P(A)=0.4\).

  1. Calcula la probabilidad de B.

\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\), despejando P(A)=0.4, obtenemos que \(P(B)=0.3\)

  1. Calcula \(P(A^c\cap B^c)\).

\(P(A^c \cup B^c)=P(A^c)+P(B^c)-P(A^c \cap B^c)\), teniendo en cuenta que \(P(A^c)=1-P(A)=0.6\) , \(P(B^c)=0.7\), y también que \(P(A^c \cap B^c)=1-P(A \cup B)=0.4\), podemos saber con certeza que: \(P(A^c \cup B^c)=0.6+0.7-0.4=0.9\) Podemos estar seguros de que el resultado es correcto porque el inverso de la interseccion entre A y B es 0.9

  1. Calcula \(P(A/B)\)

\(P(A / B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=0.3/0.5=0.6\)

  1. Son independientes los sucesos A y B.

Para que sean independientes, debe cumplirse \(P(A \cap B)=0.1\) debe ser igual a \(P(A)P(B)=0.4*0.3=0.12\), como podemos ver el resultado no es el mismo, así que no son independientes.

Variable aleatoria exponencial

Sean X una variable exponencial de media 4.

  1. Calcula la probabilidad de que X sea mayor que 3.

\(P(X > 3)\)=

pexp(3,1/4,lower.tail=FALSE)
## [1] 0.4723666

También se puede poner así \(P(x > 3)\)=1-pexp(3,1/4)=0.4723666

  1. Calcula la probabilidad de que X sea menor que 6.

\(P(X\leq 6)\)=pexp(6,1/4)=0.7768698

  1. Calcula la probabilidad de que X sea menor que 2 sabiendo que es menor que 3.

\(P(X< 2/X< 3)\frac{P(X< 2)}{P(X< 3)}=\frac{P(X<2)}{P(X<3)}\)=(pexp(2,1/4))/(pexp(3,1/4))=0.7457248

  1. Calcula el tercer cuartil de la varible X.

Tenemos que calcular Q3 tal que \(P(X<Q3)=0.75\) con r se puede hacer directamente así, qexp(0.75,1/4)=5.5451774. Lo podéis comprobar haciendo pexp(qexp(0.75,1/4),1/4)=0.75

***

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Se lanza un dado de 9 acaras que contiene los numeros del 1 al 9, cada elemento del espacio muestral Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9} ocurre con una probabilidad de un noveno. Por lo tanto se trata de una distribución uniforme. 1.Halla la media

Para hallar la media podemos hacerlo de dos maneras:

dado<-c(1:9)-> mean(dado)=5 media=sum(dado)/lenght(dado)=5

2.Halla su varianza

Podemos hallar la varianza así:`varianza<-function(x) { ((length(x)-1)/length(x))*var(x) }

varianza(dado)

varianza<-function(x) { ((length(x)-1)/length(x))*var(x) }

=6.6666667

3.Se realiza un test de antigenoss a 10 personas que han estado en contacto con una persona infectada. Cada persona tiene un 0.45 de dar positivo en el test ¿Cuál es la probabilidad de que todos esten infectados?

Lo podemos calcular así: P(X=10)= (10!/(10!0!))0.45^10*0.55^0=0.0003405063 En r podemos hacer: dbinom(10,10,0.45)=3.4050629^{-4}

4.¿Cuál es la probabilidad de que la mitad (5) esten infectados?

Lo podemos calcular así: P(X=10)= (10!/(5!5!))0.45^5*0.55^5=0.2340327 En r podemos hacer: dbinom(5,10,0.45)=0.2340327