1 Probabilidad

Los alumnos de 2º de Ingeniería Informática están desesperados. No quieren terminar este año en Julio pero tienen mucho miedo, ya que la probabilidad de aprobar Estadística (A) es 0,6 y la probabilidad Bases de Datos es desconocida (pero se dice que es muyyy baja). Si se sabe la probabilidad de aprobar ambas asignaturas que es 0,15 y la probabilidad de aprobar alguna asignatura es 0,7.

  1. Calcula la probabilidad de aprobar Bases de datos (B) \[ P_B = P(A \cap B)-P(A)+P(A\cup B) = {0,15}-{0,6}+{0,7} = 0,25 \]
P_A <- 0.6
P_A_inter_B <- 0.15

P_B <- P_A_inter_B / P_A
P_B
## [1] 0.25
  1. Demuestra que aprobar en Estadistica no influye en aprobar en Bases de datos \[ \text{independientes} = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
son_independientes <- P_A_inter_B == (P_A * P_B)
son_independientes
## [1] TRUE
  1. Calcula la probabilidad de ser como el resto de mortales y suspender ambas o alguna de las dos \[ P(\neg A) = 1 - P(A) = 0,4\quad, P(\neg B) = 1 - P(B) = 0,75 \] \[ P(\neg A \cup \neg B) = P(\neg A) + P(\neg B) - P(\neg A \cap \neg B) = 0,85 \] \[ P(\neg A \cap \neg B) = P(\neg A) \cdot P(\neg B) = 0,3 \]
P_noA <- 1 - P_A
P_noB <- 1 - P_B

P_noA_union_noB <- P_noA + P_noB - (P_noA * P_noB)
P_noA_inter_noB <- P_noA * P_noB
P_noA_union_noB
## [1] 0.85
P_noA_inter_noB
## [1] 0.3

d.Calcula la probabilidad de A dada B \[ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=0,6 \]

\[ P(A|B)=P(A) \]

2 Variable aleatoria

En la papelería de la facultad solo venden bolígrafos de una determinada marca. Los estudiantes se han dado cuenta de que el 5% de los bolígrafos comprados en la la papelería son defectuosos, y no escriben como deberían. Suponiendo que los bolígrafos comprados constituye un conjunto de ensayos independientes:

  1. Si un grupo de amigos compra 15 bolígrafos, ¿cuál es la probabilidad de que haya 4 defectuosos?

\(P(X = 4)\)=

dbinom(4,15,0.05)
## [1] 0.004852576

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 2 bolígrafos defectuosos?

\(P(X>2)=1-p(X\leq2)\)=

1-pbinom(2,15,0.05)
## [1] 0.03620024

  1. De los 15 bolígrafos, han probado 5 de ellos, y han visto que no son defectuosos, ¿cuál es la probabilidad entonces de que haya mas de 3 bolígrafos defectuosos?

\(P(X> 3/X\leq10)=\frac{P(3\leq X\leq10)}{P(X\leq10)}=\frac{P(X\leq10)-P(X\leq3)}{(X\leq10)}\)=

(pbinom(10,15,0.05)-pbinom(3,15,0.05))/(pbinom(10,15,0.05))
## [1] 0.005467259

  1. Si en la papelería también venden los bolígrafos en lotes de 20, ¿cuál será la media de bolígrafos defectuosos en cada lote?

\(\mu= n *p\) =

20*0.05
## [1] 1

3 Distribución de probabilidad

La maquina de café de la facultad se ha estropeado, y debido a la alta adicción al café presente en la facultad, se buscaron reemplazos inmediatamente. Uno de estos reemplazos es una máquina que echa de media 175 ml de café con 10 ml de desviación estándar, siguiendo una distribución normal. Sin embargo, pese a las buenas valoraciones de esta máquina la UCLM no está muy segura de que cumpla con las altas expectativas de los alumnos y profesores de ingeniería, por lo que le han pedido al departamento de matemáticas algunos calculos…

  1. Un café se tendría que deshechar si tiene más de 190 ml o menos de 150 ml.¿Cuál es la probabilidad de que NO se desheche?¿Y de que sí?

\(X\)~\(N(175,10)\)

Probabilidad de que NO se desheche:

\(P(150 < X < 190)\) = \(P(X\leq 190) - P(X\leq150)\) =

prob<-pnorm(190,175,10) - pnorm(150,175,10)
prob
## [1] 0.9269831

Probabilidad de que SI se desheche:

\(1 - P(150 < X < 190)\) = \(1 - (P(X\leq 190) - P(X\leq150))\) =

1 - (pnorm(190,175,10) - pnorm(150,175,10))
## [1] 0.07301687

Para asegurarse bien el departamento ha decido coger aleatoriamente 10 cafés de la máquina.

\(Y\)~\(Bi(10,P(150 \le X \le 190))\) = \(Bi(10,0.9269831)\)

  1. ¿Probabilidad de que los 10 estén entre 150 ml y 190 ml?

\(P(Y = 10)\) =

dbinom(10,10,prob)
## [1] 0.4685094

  1. ¿Probabilidad de que al menos 5 estén entre 150 ml y 190 ml?

\(P(Y \ge 5)\) = \((1 - P(Y \le 4))\) =

1-pbinom(4,10,prob)
## [1] 0.9999754
  1. ¿Probabilidad de que la media de los 10 cafés esté entre 150 ml y 190 ml?

\(x̅\)~\(N(175,10/\sqrt10)\)

\(P(150 < x̅ < 190)\) = \(P(x̅\leq 190) - P(x̅\leq15))\) =

desv=10/sqrt(10)
pnorm(190,175,desv)-pnorm(150,175,desv)
## [1] 0.9999989