Probabilidad

La probabilidad de que mi hermano me regale un juego de la PlayStation 5 por mi cumpleaños es de 0.8, y la probabilidad de que me regale un juego y también me haga otro regalo es de 0.65. Por último, la probabilidad de que mi hermano me regale un juego sabiendo que me va a hacer otro regalo también es de 0.40.

  1. Calcula la probabilidad de que mi hermano me haga sólo el otro regalo.

\(P(B)=1-P(A / B) = 1 - 0.40 = 0.60\)

  1. Calcula la probabilidad de que me regale un juego o me haga otro regalo.

\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) = 0.80 + 0.60 - 0.65 = 0.75\), sabemos que del apartado 1), P(B) es 0.60.

  1. Calcula la probabilidad de que no me regale un juego de la PlayStation 5.

\(P(A^c)=1-P(A)=1-0.80=0.20\)

4.¿Depende que mi hermano me regale un juego de que me haga otro regalo?

No son independientes, ya que debe cumplirse que \(P(A \cap B)=0.65\) debe ser igual a \(P(A)P(B)=0.80*0.60=0.48\),y también porque \(P(A/B)=0.40\) y \(P(A)=0.80\), \(P(A/B) != P(A)\).

Variable aleatoria

Tenemos un torneo de fútbol donde un equipo tiene que disputar 8 partidos. Sea X una variable aleatoria con el número de partidos que gana con los siguientes valores posibles: P(X=0)=0.05 P(X=1)=0.35 P(X=2)=0.25 P(X=3)=0.15 P(X=4)=0.07 P(X=5)=0.05 P(X=6)=0.04 P(X=7)=0.03 P(X=8)=0.01

  1. Calcula la probabilidad de que el equipo gane 3 o más partidos.

\(P(X\ge 3)= P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)\)

sum(0.15,0.07,0.05,0.04,0.03,0.01)
## [1] 0.35

También se podría hacer de esta manera \(P(X\ge 3)=1-P(X=2)-P(X=1)-P(X=0)\)

1-sum(0.25,0.35,0.05)
## [1] 0.35

  1. Calcula la probabilidad de que el equipo gane 6 o menos partidos.

\(P(X\leq 6)=P(X=6)+P(X=5)+P(X=4)+P(X=3)+P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)\)

sum(0.04,0.05,0.07,0.15,0.25,0.35,0.05)
## [1] 0.96

También se podría hacer de esta manera: \(P(X\leq 6)=1-P(X=7)-P(X=8)\)

1-sum(0.03,0.01)
## [1] 0.96

  1. Calcula la probabilidad de que el equipo gane más de 4 partidos sabiendo que ya ha ganado 1

\(P(X> 4/X>1)=\frac{P(X>4)}{P(X>1)}=\frac{1-P(X<4)}{1-P(X<1)}\)

(1-sum(0.15,0.25,0.35,0.05))/(1-0.05)
## [1] 0.2105263

  1. Calcula la media de X

Tenemos que calcular la media de esta manera \(Media=(0*0.05)+(1*0.35)(2*0.25)(3*0.15)(4*0.07)(5*0.05)(6*0.04)(7*0.03)(8*0.01)\)

sum(0*0.05,1*0.35,2*0.25,3*0.15,4*0.07,5*0.05,6*0.04,7*0.03,8*0.01)
## [1] 2.36

***

Estadística descriptiva

La semana pasada los alumnos de segundo de carrera realizaron un examen tipo test de Estadística .La calificación obtenida en los examenes tiene una media de 7 y la desviación es de 4. Sea X la variable aleatoria que representa la calificación obtenida por un alumno.

X~N(7,4)

  1. Calcula la probabilidad de obtener una calificación mayor a 8,5.

P(X>8.5)

1-pnorm(8.5,7,4)
## [1] 0.3538302
  1. Calcula la calificación necesaria para estar en el percentil 35.
qnorm(0.35,7,4)
## [1] 5.458718
  1. Calcula la probabilidad de obtener una calificación entre 6 y 9.

P(6<X<9)

pnorm(9,7,4)-pnorm(6,7,4) 
## [1] 0.2901688
  1. Calcula la probabilidad de obtener una calificación menor o igual a 4.

P(X<=40)

pnorm(4,7,4) 
## [1] 0.2266274
  1. Calcula la probabilidad de contestar todas las preguntas correctamente.

P(X=10)

dnorm(10,7,4)
## [1] 0.07528436