Probabilidad

En una carrera de coches participan tres escuderías: Ferrari, Mercedes y Red Bull. El 40% de los coches son de Ferrari, el 35% de Mercedes y el 25% de Aston Martin. El porcentaje de coches que abandonan la carrera por avería es del 5% para Ferrari, 3% para Mercedes y 7% para Aston Martin. Se elige un coche al azar. Calcular las siguientes probabilidades:

  1. Que abandone la carrera por avería. \(P(AV) = P(F)*P(AV/F) + P(M)*P(AV/M) + P(AM)*P(AV/AM) = 0.4*0.05 + 0.35*0.03 + 0.25*0.07 = 0.048\)

  2. Que no abandone la carrera por avería. Sabemos que es \(P(\overline{AV})= 1 - P(AV) = 1 - 0.048 = 0.952\)

  3. Si resulta que el coche abandona la carrera por avería, ¿qué probabilidad tiene de que sea de Aston Martin?

    \(P(AM/AV)=\frac{P(AM \cap AV)}{P(AV)}=\frac{P(AM)*P(AV/AM)}{P(AV)}=\frac{0.25*0.07}{0.048}=\frac{0.0175}{0.048}= 0.364583333\)

  4. Si resulta que el coche no abandona la carrera por avería, ¿qué probabilidad tiene de que sea de Mercedes?

    \(P(M/\overline{AV})=\frac{P(M \cap \overline{AV})}{P(\overline{AV})}=\)
    (sabemos que \(P(M)=P(M\cap AV)+P(M \cap\overline{AV})\), y despejando \(P(M \cap\overline{AV})=P(M)-P(M\cap AV))\)

    \(=\frac{P(M)-P(M \cap AV)}{P(\overline{AV})}=\frac{P(M)-P(M)*P(AV \cap M)}{P(\overline{AV})}=\frac{0.35 - 0.35*0.03}{0.952}= 0.356617\)
    o bien
    \(P(M/\overline{AV})=\frac{P(M \cap \overline{AV})}{P(\overline{AV})}=\frac{P(M)*P(\overline{AV}/M)}{P(\overline{AV})}=\frac{0.35*0.97}{0.952}=0.356617\)

Variable aleatoria

En una liga de fútbol, se seleccionan 4 equipos al azar para realizar un estudio sobre el número de partidos ganados en una temporada. Sea X una variable aleatoria discreta que representa el número de equipos que ganaron más de 10 partidos en la temporada, con los valores posibles x=0,1,2,3,4.Además sabemos que:

\(P(X=0)=0.1\)

\(P(X=1)=0.3\)

\(P(X=2)=0.3\)

\(P(X=3)=0.2\)

\(P(X=4)=0.1\)

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 equipos ganen más de 10 partidos?

\(P(X\geq 2)\)=\(P(X=2)\) + \(P(X=3)\) + \(P(X=4)\)

sum(0.3,0.2,0.1)
## [1] 0.6
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 equipos no ganen mas de 10 partidos?

\(P(X\leq 3)\)=\(P(X=0)\) + \(P(X=1)\) + \(P(X=2)\) + \(P(X=3)\)

sum(0.1,0.3,0.3,0.2)
## [1] 0.9

  1. Calcula la probabilidad de que haya mas de 2 equipos que ganen mas de 10 partidos sabiendo que hay mas de uno que los gana.

\(P(X> 2/X\geq1)\frac{P(X>3)}{P(X\geq1)}=\frac{P(X>2)}{P(X\geq1)}\)

Sabemos que: \(P(X>2) = 1-P(X\leq2) = 1-(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))\)

Y a su vez:\(P(X\geq1) = 1-P(X<1)\) = \(1-P(X=0)\)

(1-sum(0.1,0.3,0.3))/(1-0.1)
## [1] 0.3333333
  1. Valor esperado de X.

Para obtenerlo tenemos que multiplicar cada valor de x por su valor de probabilidad y sumarlos todos,

\(\mu_{x}=0*P(X=0) + 1*P(X=1) + 2*P(X=2) + 3*P(X=3) + 4*P(X=4)\)

sum(0*0.1,1*0.3,2*0.3,3*0.2,4*0.1)
## [1] 1.9

***

Distribucion Normal

Se sabe que la presión de los balones que se usan en la final de la Champions League sigue una distribución normal con media 0.8 atm y desviación estándar 0.24 atm.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que la presión de un balón sea menor o igual que 0.6 atm?

    \(P(X\leq 0.6)=\)

pnorm(0.6,0.8,0.24)
## [1] 0.2023284
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que la presión de un balón se encuentre entre 0.7 y 0.9 atm?
    \(P(0.9 \leq X\leq 0.7)=\)
pnorm(0.9,0.8,0.24)-pnorm(0.7,0.8,0.24)
## [1] 0.3230778
  1. Calcula la mediana de la variable X. ¿Encuentras algo interesante?
    Tenemos que calcular M tal que P(X<M)=0.5
qnorm(0.5,0.8,0.24)
## [1] 0.8

Sabemos que si X sigue una Distribución Normal, la mediana y la media coinciden.

  1. Calcula el cuantil del 20%.
    Tenemos que calcular M tal que P(X<M)=0.2
qnorm(0.2,0.8,0.24)
## [1] 0.5980109
  1. \(P(X \leq 0.9 / X\geq 0.5)\)
    \(P(X \leq 0.9 / X\geq 0.5)=\frac{P(X \leq 0.9 \cap X\geq0.5)}{P(X \geq 0.5)}=\frac{P(0.5 \leq X\leq 0.9)}{1-P(X \leq 0.5)}\)=(pnorm(0.9,0.8,0.24)-pnorm(0.5,0.8,0.24))/(1-pnorm(0.5,0.8,0.24))= 0.6215564