Entrega 1
Problemas de Probabilidad, Variable aleatoria y Distribuciones de probabilidad.

Probabilidad

Tenemos un espacio muestral de 250 estudiantes de la UCLM que se clasifican de acuerdo al sexo y al grado que estudian
Grado Hombre Mujer
RRHH 20 45
Ingeniería Informática 48 19
ADE 41 18
Medicina 22 37

Si seleccionamos aleatoriamente a un estudiante, halla la probabilidad de que:

  1. Sea Mujer, dado que estudia Medicina

La probabilidad es \(P(mujer/medicina)\).

Con la tabla sabemos que, de 250 estudiantes de nuestro espacio muestral, 59 son de medicina, por lo que para sacar la probabilidad de que estudie medicina, hacemos \(59/250\), y nos da que: \(P(Medicina)= 0,236\).

Para saber la probabilidad de que sea mujer y estudie medicina, sabemos que hay 37 mujeres que estudian medicina en nuestro espacio muestral, por lo que habría que hacer \(37/250\) para que de que: \(P(Mujer∩Medicina)=0.148\)

Para hacer la probabilidad, usamos la formula: \(P(A/B)=P(A∩B)/P(B)\)

Es decir, \(P(mujer/medicina)=P(Mujer∩Medicina)/P(Medicina)\)

Con valores, daría que \(P(mujer/medicina)=0.148/0.236\) 

0.148/0.236
## [1] 0.6271186

La probabilidad de que sea mujer dado que estudia medicina es de \(0.6271186\)

  1. Estudie Ingeniería Informática

Según la tabla, hay 67 estudiantes de ingeniería informatica en nuestro espacio muestral, por lo que para saber \(P(Ingeniería Informatica)\) tenemos que hacer 67/250, lo que nos saldría 

67/250
## [1] 0.268

Con este calculo, sabemos que \(P(Ingeniería Informatica)= 0.268\)

  1. No estudie RRHH, dado que es mujer

Queremos calcular \(P(!RRHH/Mujer)\), que se calcula con la formula descrita en el primer apartado Con la tabla, sabemos que:

\(P(Mujer∩RRHH)=45/250=0.18\)

\(P(Mujer∩Ingeniería Informatica)=19/250=0.076\)

\(P(Mujer∩ADE)=18/250=0.072\)

\(P(Mujer∩Medicina)=37/250=0.148\)

Según la formula: \(P(A)=P(A∩B)+P(A∩C). A,B,C ∈ X\)

Tenemos que: \(P(Mujer)=0.18+0.076+0.072+0.148=0.476\)

De aqui, podemos sacar la probabilidad de que sea mujer y no estudie RRHH, que es \(P(!RRHH∩Mujer)=P(Mujer∩Ingeniería Informatica)+P(Mujer∩ADE)+P(Mujer∩Medicina)=0.076+0.072+0.148=0.296\)

O también

\(P(!RRHH∩Mujer)=P(Mujer)-P(Mujer∩RRHH)=0.476-0.18=0.296\)

De aqui, podemos sacar que: \(P(!RRHH/Mujer)=0.296/0.476\) 

0.296/0.476
## [1] 0.6218487

Con el calculo anterior, conseguimos saber que \(P(!RRHH/Mujer)=0.6218487\)

  1. No sea hombre, dado que estudia ADE

Con la tabla, sabemos que \(P(ADE)=59/250=0.236\)

Y que \(P(ADE∩!Hombre)=P(Mujer∩ADE)=0.072\)

Por lo que, con la formula antes establecida, sabemos que l probabilidad de que sea hombre dado que estudia ADE es: 

0.072/0.236
## [1] 0.3050847

\(P(ADE/!Hombre)=0.3050847\)

Variable aleatoria exponencial

Un ordenador es llevado a reparar debido al mal funcionamiento de los módulos de memoria. Siendo X el número de módulos que no funcionan correctamente.

X 0 1 2 3 4
P1(X)| 0.1| 0.3| 0.4| 0.1| 0.1|
P2(X)| 0.3| 0.3| 0.2| 0.1| 0.2|
P3(X)| 0.3| 0.2| 0.1| 0.1| 0.1|
  1. ¿Cuál de las siguientes funciones se trata de una posible función de probabilidad de X? Razona tu respuesta

Se trata de P1(X) debido a que para que sea función de probabilidad la suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1, y P1(X) es la unica que lo cumple.

  1. ¿Cual es la probabilidad de que haya un mal funcionamiento de máximo de 2 módulos de memoria?

La probabilidad es \(P(X<=2)\) 

0.1+0.3+0.4
## [1] 0.8

\(P(X<=2)=0.8\)

  1. Calcula µ

La media se calcula con la formula: µ=Σ(X*xi)

Por lo que los calculos son: 

0*0.1+1*0.3+2*0.4+3*0.1+4*0.1
## [1] 1.8

Y el resultado es: \(µ=1.8\)

  1. Calcula σ

La varianza se calcula con la formula: σ2=(Σ(X2-xi))-µ2

Que con los datos sería:

((0^2)*0.1+(1^2)*0.3+(2^2)*0.4+(3^2)*0.1+(4^2)*0.1)-1.8^2
## [1] 1.16

Para hallar la desviación típica tenemos que usar la raiz cuadrada del resultado anterior \(σ=√(σ^2)\) 

sqrt(1.16)
## [1] 1.077033

Por lo que el resultado es: \(σ=1.077033\)

Distribuciones de probabilidad

Un videojuego tiene 50 objetos especiales cuyo ratio de aparición es de 0.15 y los objetos son independientes entre si.

Sabemos que X sigue una distribución binomial con una muestra de 50 y una probabilidad del 0.15 X~Bi(50,0.15)

  1. ¿Cual es la probabilidad de obtener a lo sumo 10 objetos especiales?

La probabilidad de encontrar hasta 10 objetos especiales es \(P(X<=10)\),que es: 

pbinom(10,50,0.15)
## [1] 0.8800827

\(P(X<=10)=0.8800827\)

  1. ¿Cual es la probabilidad de no obtener ningún objeto especial?

La probabilidad de no encontrar ningún objeto especial es: \(P(X=0)\), que es: 

dbinom(0,50,0.15)
## [1] 0.0002957647

\(P(X=0)=0.0002957647\)

  1. ¿Cual es la probabilidad de obtener más de 7 objetos especiales?

La probabilidad de encontrar mas de 7 objetos especiales es: \(P(X>7)\), que también es:\(1-P(x<=7)\) 

1-pbinom(7,50,0.15)
## [1] 0.4812479

\(P(X>7)=0.4812479\)

  1. ¿Cual es la probabilidad de obtener todos los objetos especiales?

La probabilidad de obtenerlos todos es:\(P(X=50)\), por lo que: 

dbinom(50,50,0.15)
## [1] 6.376215e-42

P(X=50)=6.376215*10-42