En un instituto van a hacer una competición de coches creados por ellos mismos.
Sabemos que la probabilidad de que llegue a meta es de 0.8 La probabilidad de que el coche siga teniendo batería cuando llega a meta es del 0.4 Y que tenga batería pero no llegue a meta es del 0.6
\(P(M^C)=1-P(M)= 1-0.8=0.2\)
\(P(M^C \cap B)= 0.6*0.2=0.12\)
\(P(B)=P(B \cap M) + P(M^C \cap B) = 0.4*0.8+0.6*0.2=0.44\)
\(P(M/B)=\frac{P(M\cap B)}{P(B)}= \frac{0.4*0.8}{0.44}=0.72\)
La superposición es una propiedad de los cuerpos que describe la capacidad de un objeto de estar en dos o más estados simultáneamente. Esta propiedad la explora el científico Schrödinger con un experimento mental donde se coloca un gato en una caja y se conecta un veneno al estado de una partícula en superposición. De esta manera, mientras no se observe la partícula, el gato estará en un estado superpuesto, vivo y muerto a la vez. Una vez abramos la caja y observemos la partícula, el gato colapsará a estar en uno de estos dos estados.
Pues bien, ahora realizaremos el mismo experimento, pero en vez de una sola partícula controlando el veneno, tendremos dos partículas cuyas combinaciones controlarán cuatro posibles estados:
1. Caerá un ratón y el gato se pondrá a jugar.
2. Se le dará un bol de comida y el gato se pondrá a comer.
3. Una música relajante solo para gatos se pondrá a sonar y el gato se dormirá.
4. No pasará nada y el gato se quedará igual que cuando lo dejamos en la caja. Se ha realizado el experimento 500 veces y gracias un aparato especial sabemos que cada vez tenía una cantidad diferente de estados dentro de la caja: 35 veces el gato estaba en 1 estado, 110 estaba en 2 y 200 veces estuvo en 3. Sabiendo esto, obtén:
a. Su función de probabilidad.
b. La moda.
c. La media y la desviación típica.
d. Ahora, añadimos una partícula más. Sabiendo que de la mitad de las veces que se encontraba en 3 estados ahora se encontrará con los nuevos estados creados por las combinaciones con la nueva partícula y que ambos salen la misma cantidad de veces, ¿cuál es su nueva función de probabilidad? a) Siendo \(X\) el número de estados en los que el gato está en un momento cualquiera:
| \(X\) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| \(Veces\) | \(35\) | \(110\) | \(200\) | \(500-(35+110+200) = 155\) |
| \(P(X)\) | \(35/500 = 0.07\) | \(110/500 = 0.22\) | \(200/500 = 0.4\) | \(155/500 = 0.31\) |
Con \(P(X)\) siendo su función de probabilidad. \(X\) quedaría como:
valores<-c(1,2,3,4)
repeticiones<-c(35,110,200,155)
x<-unlist(mapply(rep,valores,repeticiones))
x## [1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
## [38] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
## [75] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
## [112] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
## [149] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [186] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [223] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [260] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [297] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [334] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
## [371] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
## [408] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
## [445] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
## [482] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4b) La moda será el número de estados que más haya salido, por lo tanto la moda será \(3\).
c) La media se puede obtener como la suma de todos los estados multiplicados por su probabilidad: \(μ_x = 1*0.07 + 2*0.22 + 3*0.4 + 4*0.31 = 2.95\) o alternativamente \(μ_x\)=
mean(x)## [1] 2.95Queriendo decir que la media de número de estados que tuvo fue \(2.95\).
La desviación típica se puede obtener como la raíz cuadrada de la varianza:
\(σ = \sqrt{\sum{(x_i - μ_x)^2 * P(X = x_i)}}\)=
sqrt(var(x))## [1] 0.89951d) Si añadimos una partícula más, dos estados más aparecerán. Como el número de veces que aparecen este número de estados son los mismos y se obtienen de la mitad de las veces que cuando había 3 estados: \(P(5) + P(6) = P(3) / 2 = 0.2\) \(P(5) = 0.2/2 = 0.1\) \(P(6) = 0.2/2 = 0.1\)
Supongamos que las calificaciones de los alumnos de cuarto curso de Medicina de la universidad de Albacete en la convocatoria extraordinaria de traumatología siguen una distribución normal con una media de 6.8 y una desviación típica de 2.5. Las cifras decimales en las calificaciones van en décimas.
Para resolver este apartado, debemos calcular la probabilidad de que X sea mayor o igual a 4.5, es decir \(P(X\geq 4.5)\)=\(1 - P(X\leq 4.5)\)=\(1 - pnorm(4.5,6.8,2.5)\)=
1- pnorm(4.5,6.8,2.5)## [1] 0.8212136\(P(2.9 \leq X\leq 5.1)\)=\(pnorm(5.1,6.8,2.5)-pnorm(2.9,6.8,2.5)\)=
pnorm(5.1,6.8,2.5)-pnorm(2.9,6.8,2.5)## [1] 0.1888723Percentil 61=\(qnorm(0.61,6.8,2.5)\)=
qnorm(0.61,6.8,2.5)## [1] 7.498298\(P(X\leq 8.5 / X\geq 5.5)\)=\(\frac{P(X\leq 8.5 \ y \ X\geq 5.5)}{P(X\geq 5.5)}\)=\(\frac{P(X\leq 8.5) - P(X\leq 5.5)}{1- P(X\leq 5.5)}\)=\(\frac{pnorm(8.5,6.8,2.5) - pnorm(5.5,6.8,2.5)}{1- pnorm(5.5,6.8,2.5)}\)=
(pnorm(8.5,6.8,2.5) - pnorm(5.5,6.8,2.5))/(1- pnorm(5.5,6.8,2.5))## [1] 0.6445762Enlace al vídeo: