Estadística y Probabilidad

Clase 1.7
Medidas de posición para datos no agrupados

Msc. Roberto Trespalacios

Universidad Tecnológica de Bolivar

2024-01-29

Tabla de contenido

  • Medidas de posición para datos no agrupados
    • Cuartiles
    • Deciles
    • Percentiles
  • Ejercicios

Medidas de posición para datos no agrupados

Las medidas de posición son aquellas en donde puedes dividir los datos en:

  • Dos partes iguales, llamada mediana
  • Cuatro partes iguales llamado cuartiles
  • Diez partes iguales llamados deciles
  • En cien partes iguales llamados percentiles

Observación: para dividir un segmento en \(k+1\) partes, se requieren \(k\) cortes.

Cuartiles

Los cuartiles son 3: \(Q_1, Q_2\) y \(Q_3\).

  • El cuartil 1 (\(Q_1\)): “deja” un 25% de los datos por debajo del valor \(Q_1\) y un 75% de los datos por “encima” de \(Q_1\).
  • El cuartil 2 (\(Q_2\) = Mediana): “deja” un 50% de los datos por debajo del valor \(Q_2\) y un 50% de los datos por “encima” de \(Q_2\).
  • El cuartil 3 (\(Q_3\)): “deja” un 75% de los datos por debajo del valor \(Q_3\) y un 25% de los datos por “encima” de \(Q_3\).

Posición y valor de los cuartiles

Posición del cuartil (\(i\))

Supongamos que tenemos ordenados los valores de nuestro problema,

\[x_1 \leqslant x_2 \leqslant x_3 \leqslant \dots \leqslant x_n\]

entonces, la posición \(i\) del cuartil \(Q_k\), para \(k=1,2,3\), se calcula mediante las siguientes fórmulas:

  • Cuando \(n\) es par, la posición del cuartil será: \(i=\Big{\lfloor} \frac{kn}{4}\Big{\rceil}\)
  • Cuando \(n\) es impar, la posición del cuartil será: \(i=\Big{\lfloor}\frac{k(n+1)}{4}\Big{\rceil}\)

Nota 1: \(\lfloor \cdot \rceil\), significa el entero más cercano.

Valor del cuartil (\(Q_k\))

Cuando ya conocemos la posición \(i\) del cuartil \(Q_k\), entonces porecemos a calcular el valor del cuartil \(Q_k\), que será el dato \(x_i\). Es decir:

\[Q_k=x_i\] Nota 2: si el valor decimal de la posición \(i\), es igual a 0.5, entonces promediamos los dos valores a los costados de la posición y el valor del cuartil será:

\[Q_k=\frac{x_{(i-0.5)}+x_{(i+0.5)}}{2}\]

Observación: el cuartil 2, coincide con la mediana de los datos.

Ejemplo 1:

Los siguientes son los valores de 18 muestras del tiempo de espera en un supermercado. Encuentre los cuartiles y luego interpretelos.

3 5 4 2 6 2 5 1 8
9 8 5 4 5 3 2 5 4

Solución

  1. Ordenamos los datos \(x_i\): 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 8, 8, 9
  2. El número de datos es par (\(n=18\)), luego, la posición de cada cuartil es \(i=\lfloor\frac{kn}{4}\rceil\)
  3. Calculemos la posición y el valor de cada cuartil.
  • Posición de cuartil 1 (\(k=1\)): \(i=\lfloor\frac{1(18)}{4}\rceil=4.5\)

el Valor del cuartil 1 es: \(Q_1=\frac{x_{(4.5-0.5)}+x_{(4.5+0.5)}}{2}=\frac{2+3}{2}=2.5\)

  • Posición de cuartil 2 (\(k=2\)): \(i=\lfloor\frac{2(18)}{4}\rceil=9\)

El Valor del cuartil 2 es: \(Q_2=x_9=4\)

  • Posición de cuartil 3 (\(k=3\)): \(i=\lfloor\frac{3(18)}{4}\rceil=13.5\)

El Valor del cuartil 3 es: \(Q_3=\frac{x_{(13.5-0.5)}+x_{(13.5+0.5)}}{2}=\frac{5+5}{2}=5\)

En R

Code 
x = c(1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 8, 8, 9)
quantile(x, probs = c(0.25, 0.5, 0.75))
  • Interpretación:

Deciles

Los deciles son 9: \(D_1, D_2, D_3, \dots, D_9\).

  • El decil 1 (\(D_1\)): “deja” un 10% de los datos por debajo del valor \(D_1\) y un 90% de los datos por “encima” de \(D_1\).

  • El decil 2 (\(D_2\)): “deja” un 20% de los datos por debajo del valor \(D_2\) y un 80% de los datos por “encima” de \(D_2\).

  • El decil 5 (\(D_5\) = Mediana): “deja” un 50% de los datos por debajo del valor \(D_5\) y un 50% de los datos por “encima” de \(D_5\).

y así suscesivamente,…

  • El decil 8 (\(D_8\)): “deja” un 80% de los datos por debajo del valor \(D_8\) y un 20% de los datos por “encima” de \(D_8\).
  • El decil 9 (\(D_9\)): “deja” un 90% de los datos por debajo del valor \(D_9\) y un 10% de los datos por “encima” de \(D_2\)

Percentiles

Los percentiles son 99: \(P_1, P_2, P_3, \dots, P_{97}, P_{98}, P_{99}\).

  • El percentiles 1 (\(P_1\)): “deja” un 1% de los datos por debajo del valor \(P_1\) y un 99% de los datos por “encima” de \(P_1\).
  • El percentiles 22 (\(P_2\)): “deja” un 22% de los datos por debajo del valor \(P_{22}\) y un 78% de los datos por “encima” de \(P_{22}\).
  • El percentil 50 (\(P_{50}\) = Mediana): “deja” un 50% de los datos por debajo del valor \(P_{50}\) y un 50% de los datos por “encima” de \(P_{50}\).

y así suscesivamente,…

  • El percentiles 64 (\(P_{64}\)): “deja” un 64% de los datos por debajo del valor \(P_{64}\) y un 36% de los datos por “encima” de \(P_{64}\).
  • El percentiles 90 (\(P_{90}\)): “deja” un 90% de los datos por debajo del valor \(P_{90}\) y un 10% de los datos por “encima” de \(P_{90}\)

Posición y valor de los deciles y percentiles

De forma análoga, como se calcula la posición \(i\) de cada cuartil, se procede para encontrar la posición de los deciles y percentiles. Solo tenemos una diferencia:

  • En los deciles, los datos de dividen en 10 partes
  • En los percentiles, los datos de dividen en 100 partes

Posición de los deciles (\(k=1,2,\dots,9\))

  • Cuando \(n\) es par, la posición del decil será: \(i=\Big{\lfloor} \frac{kn}{10}\Big{\rceil}\)
  • Cuando \(n\) es impar, la posición del decil será: \(i=\Big{\lfloor}\frac{k(n+1)}{10}\Big{\rceil}\)

Posición de los percentiles (\(k=1,2,\dots,99\))

  • Cuando \(n\) es par, la posición del percentil será: \(i=\Big{\lfloor} \frac{kn}{100}\Big{\rceil}\)
  • Cuando \(n\) es impar, la posición del percentil será: \(i=\Big{\lfloor}\frac{k(n+1)}{100}\Big{\rceil}\)

Valor de los deciles y percentiles

Para encontrar los valores \(D_k\) de los deciles y \(P_k\) de los percentiles, se procede exactamente igual a los cuartiles.

Ejemplo 2:

Con los datos del ejemplo 1, encuentre los deciles 1, 4 y 5.

Solución

  1. Ordenamos los datos \(x_i\):

1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 8, 8, 9

  1. El número de datos es par (\(n=18\)), luego, la posición de cada decil es \(i=\lfloor \frac{kn}{10}\rceil\)
  2. Calculemos la posición y el valor de cada decil.
  • Posición de decil 1 (\(k=1\)): \(i=\lfloor\frac{1(18)}{10} \rceil =\lfloor 1.8\rceil = 2\)

El Valor del decil 1 es: \(D_1=x_2 = 2\)

  • Posición de decil 4 (\(k=4\)): \(i=\lfloor\frac{4(18)}{10}\rceil= \lfloor 7.2 \rceil =7\)

El Valor del decil 4 es: \(D_4=x_7 = 4\)

  • Posición de decil 5 (\(k=5\)): \(i=\lfloor \frac{5(18)}{10}\rceil=9\)

El Valor del decil 5 es: \(D_5=x_9 = 4\)

En R

Code 
x = c(1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 8, 8, 9)
quantile(x, probs = c(0.1, 0.4, 0.5))
  • Interpretación:

Ejercicios

  1. Los siguientes datos corresponden al tiempo de hospitalización, en días, de 21 pacientes después de una cirugía de cráneo: \[8, 9, 9, 12, 13, 15, 15, 17, 21, 21, 23, 24, 26, 28, 33, 36, 37, 38, 44, 45, 78\] Calcule
    1. Los cuartiles y luego interpretelos.
    2. Los deciles 2, 3 y 7 y luego interpretelos.
    3. Los percentiles 22, 35 y 78 y luego interpretelos.
  2. Los datos representan la edad de la madre, al tiempo que tiene su primer hijo. \[21, 35, 33, 25, 22, 26, 21, 24, 16, 32, 25, 20, 30, 20, 20, 29, 21, 19, 18, 24, 33, 22, 23, 25, 17, 23, 25, 29\] Calcule
    1. Los cuartiles y luego interpretelos.
    2. Los deciles 4 y 5, luego interpretelos.
    3. Los percentiles 15 y 86, luego interpretelos.