Encuentre e interprete un intervalo de confianza del 95% para una media poblacional μ para los valores:
n=36, x¯=13.1, s^2=3.42, suponga que X∼normal
n=64, x¯=2.73, s^2=0.1047, suponga que X∼normal
n=125, x¯=0.84, s^2=0.086, suponga que se desconoce la distribución de X
# Valores dados en el problema
n <- c(36, 64, 125) # Tamaños de las muestras
x_bar <- c(13.1, 2.73, 0.84) # Medias de las muestras
s_cuadrado <- c(3.42, 0.1047, 0.086) # Varianzas de las muestras
# Calcular las desviaciones estándar a partir de las varianzas
s <- sqrt(s_cuadrado)
# Nivel de confianza
nivel_confianza <- 0.95
# Inicializar una lista para contener los intervalos de confianza
intervalos_confianza <- list()
# Calcular los intervalos de confianza
for (i in 1:length(n)) {
# Para los primeros dos casos, usar el puntaje z porque la distribución es normal
if (n[i] == 36 || n[i] == 64) {
z_score <- qnorm((1 + nivel_confianza) / 2)
error_marginal <- z_score * (s[i] / sqrt(n[i]))
} else {
# Para el tercer caso, usar la distribución t porque la distribución de X es desconocida
t_score <- qt((1 + nivel_confianza) / 2, df=n[i]-1)
error_marginal <- t_score * (s[i] / sqrt(n[i]))
}
# Calcular los límites inferior y superior del intervalo de confianza
limite_inferior <- x_bar[i] - error_marginal
limite_superior <- x_bar[i] + error_marginal
# Almacenar el intervalo de confianza
intervalos_confianza[[i]] <- c(limite_inferior, limite_superior)
}
# Mostrar los intervalos de confianza
intervalos_confianza## [[1]]
## [1] 12.4959 13.7041
##
## [[2]]
## [1] 2.650726 2.809274
##
## [[3]]
## [1] 0.788084 0.891916El departamento de carnes de una cadena de supermercados empaca la carne molida en vendejas de dos tamaños: una esta diseñada para contener mas o menos 1 libra de carne y la otra para casi 3 libras. Una muestra aleatoria de 35 paquetes de la bandeja mas pequeña produjo mediciones de peso con un promedio de 1.01 libras y una desviación estándar de 0.18 libras.
Encuentre una intervalo de confianza del 99% para el promedio de los paquetes mas pequeños.
El departamento de control de calidad de esta cadena de supermercados piensa que la cantidad de carne molidas debe ser en promedio de 1 libra. ¿Debe preocupar al departamento de control de la calidad el resultado obtenido para el IC(99%)
# Datos proporcionados
n <- 35 # Tamaño de la muestra
x_bar <- 1.01 # Media de la muestra
s <- 0.18 # Desviación estándar de la muestra
nivel_confianza <- 0.99 # Nivel de confianza deseado
# Grados de libertad
df <- n - 1
# Valor crítico t para el nivel de confianza del 99%
t_critico <- qt((1 + nivel_confianza) / 2, df)
# Margen de error
margen_error <- t_critico * (s / sqrt(n))
# Intervalo de confianza
limite_inferior <- x_bar - margen_error
limite_superior <- x_bar + margen_error
# Mostrar el intervalo de confianza y el margen de error
list(intervalo_confianza = c(limite_inferior, limite_superior), margen_error = margen_error)## $intervalo_confianza
## [1] 0.9269871 1.0930129
##
## $margen_error
## [1] 0.08301291En una encuesta aleatoria realizada a 500 familias de la ciudad que poseen televisión por cable, se encuentra que 340 tienen suscripción a HBO. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de familias que tienen suscripción a HBO en la ciudad. Interprete el resultado obtenido.
# Datos
n <- 500 # tamaño de la muestra
x <- 340 # número de familias con suscripción a HBO
p_hat <- x / n # proporción muestral
# Nivel de confianza y valor z para el 95%
z <- qnorm(0.975) # valor crítico de z
# Cálculo del error estándar
se <- sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / n)
# Cálculo del intervalo de confianza
ci_lower <- p_hat - z * se
ci_upper <- p_hat + z * se
# Mostrar resultados
cat("Proporción muestral (p_hat):", p_hat, "\n")## Proporción muestral (p_hat): 0.68cat("Intervalo de confianza al 95%: [", ci_lower, ",", ci_upper, "]\n")## Intervalo de confianza al 95%: [ 0.6391123 , 0.7208877 ]De 1000 casos seleccionados al azar de cáncer de pulmón, 823 resultaron en la muerte dentro de los 10 años después de su detección. Construya un intervalo de confianza para la tasa de mortalidad por cáncer de pulmón del 95%, de acuerdo con los datos suministrados. Interprete los resultados obtenidos.
# Datos
n <- 1000 # tamaño de la muestra
x <- 823 # número de casos que resultaron en muerte
p_hat <- x / n # tasa de mortalidad muestral
# Nivel de confianza y valor z para el 95%
z <- qnorm(0.975) # valor crítico de z
# Cálculo del error estándar
se <- sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / n)
# Cálculo del intervalo de confianza
ci_lower <- p_hat - z * se
ci_upper <- p_hat + z * se
# Mostrar resultados
cat("Tasa de mortalidad muestral (p_hat):", p_hat, "\n")## Tasa de mortalidad muestral (p_hat): 0.823cat("Intervalo de confianza al 95%: [", ci_lower, ",", ci_upper, "]\n")## Intervalo de confianza al 95%: [ 0.7993444 , 0.8466556 ]Los siguientes datos corresponden a las notas finales del curso de matematicas fundamentales.
# Datos de las notas finales
nf <- c(4.1, 2.7, 3.1, 3.2, 3.0, 3.2, 2.0, 2.4, 1.6, 3.2, 3.1, 2.6, 2.0, 2.4, 2.8, 3.3, 4.0, 3.4, 3.0, 3.1, 2.7, 2.7, 3.0, 3.8, 3.2, 2.2, 3.5, 3.5, 3.8, 3.5, 3.9, 4.2, 4.3, 3.9, 3.2, 3.5, 3.5, 3.7, 4.1, 3.7, 3.5, 3.6, 3.2, 3.1, 3.4, 3.0, 3.0, 3.0, 2.7, 1.7, 3.6, 2.1, 2.4, 3.0, 3.1, 2.5, 2.5, 3.6, 2.2, 2.4, 3.1, 3.3, 2.7, 3.7, 3.0, 2.7, 3.0, 3.2, 3.1, 2.4, 3.0, 2.7, 2.5, 3.0, 3.0, 3.0, 3.2, 3.1, 3.8, 4.1, 3.7, 3.5, 3.0, 3.7, 3.7, 4.1, 3.7, 3.9, 3.7, 2.0)
# Calcular el intervalo de confianza del 95% para la media
t_result <- t.test(nf)
# Mostrar el intervalo de confianza
cat("Intervalo de confianza al 95% para el promedio de la nota final:", "\n")## Intervalo de confianza al 95% para el promedio de la nota final:cat("Límite inferior:", t_result$conf.int[1], "\n")## Límite inferior: 3.012243cat("Límite superior:", t_result$conf.int[2], "\n")## Límite superior: 3.261091Una muestra de siete bloques de concreto tienen la siguiente fuerza de compresión medida en MPa . Los resultados obtenidos son:
# Datos de la fuerza de compresión
x <- c(1367.6, 1411.5, 1318.7, 1193.6, 1406.2, 1425.7, 1572.4)
# Calcular el intervalo de confianza del 95% para la media
t_result <- t.test(x)
# Mostrar el intervalo de confianza
cat("Intervalo de confianza al 95% para la media de la fuerza de compresión:", "\n")## Intervalo de confianza al 95% para la media de la fuerza de compresión:cat("Límite inferior:", t_result$conf.int[1], "\n")## Límite inferior: 1278.804cat("Límite superior:", t_result$conf.int[2], "\n")## Límite superior: 1491.396El Director de una fabrica de muebles desea estimar el tiempo promedio que toma perforar tres agujeros en una placa metálica que se utiliza en la construcción de bases para mesas metálicas. El desea tener una confianza del 95 % para que la media muestral este dentro de 5 segundos de la media real, suponiendo que σ=40 , obtenida en estudios anteriores. Una de las firmas contactadas para la realización del estudio indica que para esas condiciones, deberá realizar 175 mediciones. El Director le pide que revise la información suministrada y le de su concepto.
# Parámetros dados
sigma <- 40 # Desviación estándar de la población
E <- 5 # Margen de error deseado
Z <- qnorm(0.975) # Valor crítico de Z para un nivel de confianza del 95%
# Cálculo del tamaño de la muestra
n <- (Z * sigma / E)^2
# Mostrar el tamaño de la muestra necesario
cat("Tamaño de la muestra necesario:", n, "\n")## Tamaño de la muestra necesario: 245.8534El área de elementos físicos de la universidad lo ha encomendado estimar la altura promedio de los estudiantes con el fin de realizar un pedido de mesas y sillas para los nuevos espacios que tendrá la universidad. Quieres estar seguro al 98% de que tu estimación esté dentro de ±2 centímetros del valor real. ¿Que tamaño debe tener la muestra para cumplir con los requerimientos establecidos?
# Parámetros dados
sigma <- 10 # Desviación estándar estimada de la altura
E <- 2 # Margen de error deseado
Z <- qnorm(0.99) # Valor crítico de Z para un nivel de confianza del 98%
# Cálculo del tamaño de la muestra
n <- (Z * sigma / E)^2
# Mostrar el tamaño de la muestra necesario
cat("Tamaño de la muestra necesario:", n, "\n")## Tamaño de la muestra necesario: 135.2974El gerente de un restaurante deseas determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de clientes satisfechos con un nivel de confianza del 95% y un error máximo permitido del 5%. Para ello, ha realizado una prueba piloto de un nuevo menú para medir la satisfacción de los clientes. En la prueba piloto, encuestaste a 100 clientes y descubriste que el 75 de ellos estaban satisfechos con la comida. ¿Qué tamaño de muestra deberá tener el estudio?
# Parámetros dados
Z <- qnorm(0.975) # Valor crítico para un nivel de confianza del 95%
p_hat <- 0.75 # Proporción estimada de clientes satisfechos
E <- 0.05 # Error máximo permitido
# Cálculo del tamaño de la muestra
n <- (Z^2 * p_hat * (1 - p_hat)) / E^2
# Mostrar el tamaño de la muestra necesario
cat("Tamaño de la muestra necesario:", n, "\n")## Tamaño de la muestra necesario: 288.1094El gerente de un centro de atención al cliente y deseas estimar el tiempo promedio que tardan los agentes en responder a las llamadas de los clientes. Quieres tener un nivel de confianza del 95% en que tu estimación se encuentra dentro de ±5 segundos del valor real. Para lograrlo, necesitas calcular el tamaño de muestra requerido para este propósito.
# Parámetros dados
sigma <- 15 # Desviación estándar estimada del tiempo de respuesta
E <- 5 # Margen de error deseado
Z <- qnorm(0.975) # Valor crítico de Z para un nivel de confianza del 95%
# Cálculo del tamaño de la muestra
n <- (Z * sigma / E)^2
# Mostrar el tamaño de la muestra necesario
cat("Tamaño de la muestra necesario:", n, "\n")## Tamaño de la muestra necesario: 34.57313Una empresa dedicada a la realización de encuestas políticas, deseas estimar la proporción de votantes que apoyan a un candidato específico en las proximas elecciones a gobernación del Valle del Cauca. No tienes información previa sobre el nivel de apoyo, por lo que deseas determinar el tamaño de muestra necesario para estimar esta proporción con un nivel de confianza del 90% y un margen de error máximo del 2%. ¿Qué tamaño de muestra deberá tener el estudio?
# Parámetros dados
Z <- qnorm(0.95) # Valor crítico para un nivel de confianza del 90%
p_hat <- 0.5 # Proporción estimada, asumida como 0.5 para ser conservador
E <- 0.02 # Margen de error
# Cálculo del tamaño de la muestra
n <- (Z^2 * p_hat * (1 - p_hat)) / E^2
# Mostrar el tamaño de la muestra necesario
cat("Tamaño de la muestra necesario:", n, "\n")## Tamaño de la muestra necesario: 1690.965Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los metodos de estimación bootstrap. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:
El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la mediaµ de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Despues de anotado el valor se regresa X∗1, a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1,X∗2,X∗3,⋯,X∗n, conformando la muestra bootstrap. Es necesario extraer un gran número de muestras (supongak=1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X¯∗.
Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga n=1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X¯∗i, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentil P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimar el intervalo:
(P2.5;P97.5)
(2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)
Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos.
Tomado de Navidi(2006)
x¯
# Datos de eficiencia de combustible
data <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)
# Número de muestras bootstrap
n_bootstrap <- 1000
# Función para generar una muestra bootstrap y calcular su media
bootstrap_mean <- function(data) {
sample_data <- sample(data, replace = TRUE, size = length(data))
mean(sample_data)
}
# Generar las muestras bootstrap y calcular sus medias
bootstrap_means <- replicate(n_bootstrap, bootstrap_mean(data))
# Calcular los percentiles 2.5 y 97.5 para obtener el intervalo de confianza bootstrap
ci_bootstrap <- quantile(bootstrap_means, c(0.025, 0.975))
# Calcular el intervalo de confianza usando la segunda fórmula (2X̄ - P97.5, 2X̄ - P2.5)
mean_original <- mean(data)
ci_alternative <- c(2 * mean_original - quantile(bootstrap_means, 0.975),
2 * mean_original - quantile(bootstrap_means, 0.025))
# Mostrar los resultados
cat("Intervalo de confianza bootstrap: ", ci_bootstrap, "\n")## Intervalo de confianza bootstrap: 4.721429 6.475821cat("Intervalo de confianza alternativo: ", ci_alternative, "\n")## Intervalo de confianza alternativo: 4.59275 6.347143