Um dos principais objetivos da Estatística é tirar conclusões a partir dos dados.

Dados em geral consistem de uma amostra de elementos de uma população de interesse.

O objetivo é usar a amostra e tirar conclusões sobre a população.

Quão confiável será utilizar a informação obtida apenas de uma amostra para concluir algo sobre a população?

• Seja \(X_{1},...,X_{n}\) uma amostra, \(T=\mbox{função}(X_{1},...,X_{n})\) é uma estatística.

• \(\displaystyle \bar{X}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}=\frac{1}{n}(X_{1}+...+X_{n})\): a média amostral é uma estatística.

• \(X_{(1)}=min\{X_{1},...,X_{n}\}\)

• \(X_{(n)}=max\{X_{1},...,X_{n}\}\)

• \(X_{(i)}\) é o i-ésimo valor da amostra ordenada

• Note que uma estatística é uma função que em uma determinada amostra assume um valor específico.

• Para que serve uma estatística? Para "estimar" os valores de uma distribuição, ou características de uma população.

• População:

  • \(\mbox{média}_{P}\)
  • \(\mbox{variância}_{P}\)

• Amostra:

  • \(\displaystyle \mbox{média}_{A} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\) "estima" a \(\mbox{média}_{P}\)
  • \(\displaystyle \mbox{variância}_{A} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mbox{média}_{A})^{2}\) "estima" a \(\mbox{variância}_{P}\)

Seja \(\theta\) a proporção de alunos na Unicamp que concorda com a presença da PM no campus.

• Inviável perguntar para todos os estudantes: coleta-se uma amostra.

• Planejamento amostral: obter uma amostra aleatória simples de tamanho \(n=100\) alunos, sem reposição.

• Cada \(X_{i}\), \(i=1,...,100\), vai assumir o valor 1 se o aluno \(i\) concorda com presença da PM, e 0 se não.

• Estatística: \(\displaystyle T= \bar X_{100} = \frac{X_{1}+...+X_{100}}{100}\)

• Uma vez que a coleta foi implementada, \(T\) assume um valor, por exemplo, \(t_{0}\), que será usado para estimar \(\theta\), ou seja, \(\hat\theta=t_{0}\).

• Cada quantidade de interesse (como \(\theta\) no exemplo anterior) é chamada de parâmetro da população.

• Para apresentar uma estimativa de um parâmetro (como \(\hat\theta\)), devemos escolher uma estatística (como \(T\)).

• Note que da maneira que o plano amostral foi executado (amostra aleatória simples), a estatística \(T\) é uma variável aleatória, uma vez que cada vez que executarmos o plano amostral poderemos obter resultados diversos.

• Portanto, a estatística \(T\) possui uma distribuição, que será a distribuição amostral de T.

Imagine um fenômeno de interesse que possa ser representado por uma v.a. \(X\) que assume os valores \(1\) ou \(2\) com igual probabilidade.

\[\mu=\mathbb E(X)= 1 \times P(X=1) +2 \times P(X=2) = 1\times \frac{1}{2} + 2\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}\]

\[ \begin{aligned} \sigma^2& =Var(X)= \mathbb E[(X-\mu)^2]\\ &= (1-1.5)^2 \times P(X=1) + (2-1.5)^2 \times P(X=2)\\ & =\frac{1}{4} \end{aligned} \]

Imagine que uma população de interesse tenha distribuição como a de \(X\) definida anteriormente.

Imagine também que, embora saibamos que os valores possíveis sejam \(1\) e \(2\), não tenhamos conhecimento sobre suas respectivas probabilidades.

Isto é, se temos \(N\) elementos nessa população, podemos pensar que a característica de interesse de cada elemento \(i\) segue uma v.a. \(X_i\) em que \(P(X_i=1)=P(X_i=2)=1/2\), mas nós não sabemos disso.

Imagine que o interesse seja \(\mu\).

Vamos coletar uma amostra aleatória simples com reposição (\(AAS_c\)) de tamanho \(n=2\) e calcular a média amostral.

Usaremos esta média amostral para estimar \(\mu\).

Quão útil é esta estimativa que se baseia em apenas 2 elementos da população?

Quão precisa?

Imagine que o aluno \(A\) realiza uma \(AAS_c\) com \(n=2\) a partir da população, obtém os dados e calcula \(\bar{x}\).

O aluno \(B\) realizar uma \(AAS_c\) com \(n=2\) a partir da população, obtém os dados e calcula \(\bar{x}\).

As duas médias amostrais serão necessariamente iguais?

A média amostral é uma v.a. e, portanto, tem uma distribuição de probabilidade.

Resultado:

• Seja \(X\) uma v.a. com média \(\mu\) e variância \(\sigma^{2}\)

• Seja \(X_{1},...,X_{n}\) uma amostra aleatória simples de \(X\)

• Seja \(\bar{X}_{n}=\frac{X_{1}+...+X_{n}}{n}\) a média amostral

• Então: \[\mathbb E\left(\bar{X}_{n}\right)=\mu \qquad \mbox{e} \qquad Var\left(\bar{X}_{n}\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}\]

Ou seja, embora \(\mu\) seja desconhecido, sabemos que o valor esperado da média amostral é \(\mu\). Além disso, conforme o tamanho amostral aumenta, a imprecisão da média amostral para estimar \(\mu\) fica cada vez menor, pois \(Var(\bar{X})=\sigma^2/n\).

Usando o resultado enunciado anteriormente, temos a esperança e a variância da média amostral \(\bar{X}\): \(\mathbb E(\bar{X})=\mu\) e \(Var(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}\).

No entanto, para conhecermos a distribuição de probabilidade de \(\bar{X}\), como foi feito no Exemplo*, é preciso conhecer todos os valores possíveis de \(X\) e suas respectivas probabilidades.

Mas, se conhecermos tudo isso, não precisamos fazer amostragem nem inferência: saberemos tudo o que desejarmos daquela população!

O Exemplo* foi um caso hipotético apenas para demonstrar como a média amostral \(\bar{X}\) se comporta quando realizamos a amostragem.

Na prática, não teremos informações suficientes para de fato descrevermos a distribuição exata de \(\bar{X}\).

Resultado

Para uma amostra aleatória simples \(X_{1},...,X_{n}\) coletada de uma população com média \(\mu\) e variância \(\sigma^{2}\), a distribuição amostral de \(\bar{X}_{n}\) aproxima-se de uma distribuição Normal de média \(\mu\) e variância \(\frac{\sigma^{2}}{n}\), quando \(n\) for suficientemente grande.

Definimos também:

\[Z=\frac{\bar{X}_{n}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)\]

Seja \(X_{1},...,X_{n}\) uma amostra aleatória de tamanho \(n\), sendo \(X_i \sim Exp(2)\):

\[f_{X_{i}}(x)=2e^{-2x}, \qquad x>0\]

Sabemos que \(\mathbb E\left(X_{i}\right)=\frac{1}{2}\) e \(Var\left(X_{i}\right)=\frac{1}{4}\)

Suponha que \(X_{i}\) modela o tempo de vida de um transistor em horas. Os tempos de vida de 100 transistores são coletados. Desejamos estudar a v.a. \(\bar{X}_{100}\) (média amostral de uma amostra de tamanho 100). Sabemos que:

\(\mathbb E\left(\bar{X}_{100}\right)=\frac{1}{2}\) e \(Var\left(\bar{X}_{100}\right)=\frac{1/4}{100}=\frac{1}{400}\)

Pelo TCL, temos que: \[\bar{X}_{n}\sim N\left(\frac{1}{2},\frac{1}{400}\right)\]

\(X=\) resultado obtido no lançamento de um dado honesto.

\(\mathbb E(X)=\frac{1}{6}\times(1+2+3+4+5+6)=\frac{21}{6}=3.5\)

\(Var(X)=\frac{1}{6}[(1+4+9+16+25+36)-\frac{1}{6}\times(21)^{2}]=\frac{35}{2}=17.5\)

• \(X_i\): resultado do \(i\)-ésimo lançamento de um dado honesto.

• \(X_i\) tem distribuição uniforme discreta \(\forall i\).

• \(\mu=\mathbb E(X_i)=3.5\) e \(\sigma^2=Var(X_i)=17.5\), \(\forall i\).

• Consideremos uma população em que a proporção de indivíduos portadores de uma certa característica seja \(p\). \[ X_{i} = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{se o indivíduo i possui a característica} \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

• \(X_{i}\sim b(p)\); \(i=1,2,...,n\)

• Se as observações são independentes: \(S_{n}=X_{1}+...+X_{n}\sim Bin(n,p)\)

• Após a coleta de uma amostra aleatória simples de \(n\) indivíduos, podemos considerar:

• \(\hat{p}=\frac{S_{n}}{n}\) (média amostral como estimador da média populacional).

Utilizando a distribuição exata (n pequeno): \(P\left(\hat{p}=\frac{k}{n}\right)=P\left(\frac{S_{n}}{n}=\frac{k}{n}\right)=P\left(S_{n}=k\right)=\left(\begin{array}{l} n \\ k \\ \end{array}\right)p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}\) \(k=0,1,...,n\).

Utilizando a aproximação para a Normal (n grande): \(\hat{p}\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\)

Se \(p\) for a proporção de fumantes no estado de SP, \(p=0.2\) e tivermos coletado uma amostra aleatória simples de 500 indivíduos: \[ X_{i} = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{se o indivíduo i é fumante} \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

\(\displaystyle \hat{p}=\frac{1}{500}\sum_{i=1}^{500}X_{i}\)

\(\hat{p}\sim N\left(0.2,\frac{0.2\times0.8}{500}\right)=N\left(0.2,0.00032\right)\)

\(P\left(\hat{p}\leq 0.25\right)= P\left(Z\leq 2.795\right)=\Phi\left(2.795\right)=0.9974\)

• \(\hat{p}=\frac{S_{n}}{n}\) \(\Rightarrow\) \(S_{n}=n\hat{p}\)

• Quando \(n\) é grande o suficiente \(\hat{p}\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\).

• Qual a distribuição de \(S_{n}\) quando n é grande o suficiente?

• \(S_{n}=X_{1}+...+X_{n}\)

• \(\hat{p}=\frac{S_{n}}{n} \sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\)

• \(S_{n}=n\hat{p}\sim N\left(np,np(1-p)\right)\)

• Portanto: \(Bin(n,p)\approx N\left(np,np(1-p)\right)\) quando \(n\) é grande

Seja \(X\sim Bin(100,0.4)\)

• \(\mathbb E(X)=100\times0.4=40\)

• \(Var(X)=100\times0.4\times0.6=24\)

• Então, \(X \approx N(40,24)\)

• \(P\left(X\leq 50\right)= P\left(Z\leq \frac{50-40}{\sqrt{24}}\right)\approx \Phi\left(\frac{10}{\sqrt{24}}\right)=\Phi\left(2.04\right) \approx 0.9793\)