Taller 3
Laura Blanco
2024-02-15
Problema 1
Encuentre e interpréte un intervalo de confianza del \(95%\) para una media poblacional \(μ\) para los valores:
1
\(n = 36,\ \overline{x}=13.1,\ s^2=3.42\), suponga que \(X∼normal\).
Para este caso utilizamos la ecuación número 2, pues aunque sabemos que la distribución es normal, no conocemos la varianza.
Intervalo de confianza: 12.47428 13.72572
Notamos que como era de esperarse la media está dentro del intervalo de confianza.
2
\(n = 64,\ \overline{x}=2.73,\ s^2=0.1047\), suponga que \(X∼normal\).
Para este caso utilizamos la ecuación número 2, pues aunque sabemos que la distribución es normal, no conocemos la varianza.
Intervalo de confianza: 2.649174 2.810826
Notamos que como era de esperarse la media está dentro del intervalo de confianza.
3
\(n = 125,\ \overline{x}=0.84,\
s^2=0.086\), suponga que se desconoce la distribución.
En este caso, como no conocemos ni la distribución ni la desviación estándar, usamos la ecuación número 3.
Intervalo de confianza: 0.7885906 0.8914094
Notamos que como era de esperarse, la media está dentro del intervalo de confianza.
Problema 2
El departamento de carnes de una cadena de supermercados empaca la carne molida en vendejas de dos tamaños: una esta diseñada para contener mas o menos \(1\) libra de carne y la otra para casi \(3\) libras. Una muestra aleatoria de \(35\) paquetes de la bandeja mas pequeña produjo mediciones de peso con un promedio de \(1.01\) libras y una desviación estándar de \(0.18\) libras.
Encuentre una intervalo de confianza del 99 % para el promedio de los paquetes mas pequeños.
En este caso, como no conocemos ni la distribución ni la desviación estándar, usamos la ecuación número 3.
Intervalo de confianza: 0.8252777 1.194722
El departamento de control de calidad de esta cadena de supermercados piensa que la cantidad de carne molidas debe ser en promedio de 1 libra. ¿Debe preocupar al departamento de control de la calidad el resultado obtenido para el IC(99 %)
El departamento de control no debe preocuparse, pues la media deseada
se encuentra dentro del intervalo de confianza.
Problema 3
En una encuesta aleatoria realizada a \(500\) familias de la ciudad que poseen televisión por cable, se encuentra que \(340\) tienen suscripción a HBO. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de familias que tienen suscripción a HBO en la ciudad. Interprete el resultado obtenido.
Para este caso utilizaremos la ecuación número 5, pues estamos tratando con la proporción.
Proporción muestral: 0.68
Intervalo de confianza: 0.6391123 0.7208877Esto nos indica que la proporción de familias con la suscripción debe
estar entre el 63,9% y 72%, vemos que en este caso, esto se cumple, pues
la proporción muestral es del 68%.
Problema 4
De \(1000\) casos seleccionados al
azar de cáncer de pulmón, \(823\)
resultaron en la muerte dentro de los \(10\) años después de su detección.
Construya un intervalo de confianza para la tasa de mortalidad por
cáncer de pulmón del 95 %, de acuerdo con los datos suministrados.
Interprete los resultados obtenidos.
Para este caso utilizaremos la ecuación número 5, pues estamos tratando con la proporción.
Proporción muestral: 0.823
Intervalo de confianza: 0.7993444 0.8466556Esto nos indica que la proporción de casos de cáncer de pulmón que terminaron en muerte debe estar entre el 79,9% y 84,7%, vemos que en este caso, esto se cumple, pues la proporción muestral es del 82,3%.
Problema 5
Los siguientes datos corresponden a las notas finales del curso de
matematicas fundamentales.
tamño de muestra [1] 90resumen notas Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
1.600 2.700 3.100 3.137 3.600 4.300 varianza notas [1] 0.3529101
Construya un intervalo del 95% confianza para el promedio de la
nota final del curso de matematicas fundamentales. Interprete su
resultado
Intervalo de confianza: 3.012576 3.261424
Vemos como es de esperarse que la media está en el intervalo de confianza. Los estudiantes dentro de este intervalo se encuentran cerca a la media y pasarán la materia, sin embargo, no obtendrán resultados sobresalientes.
Problema 6
Una muestra de siete bloques de concreto tienen la siguiente fuerza
de compresión medida en MPa . Los resultados obtenidos son:
tamaño de muestra [1] 7resumen Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
1194 1343 1406 1385 1419 1572 varianza [1] 13209.88
Estime un intervalo de confianza del 95% para la media de la
fuerza de compresion de los bloques de concreto
Intervalo de confianza: 1278.704 1491.296
Siempre y cuando la comprensión de los bloques se encuentre entre
1278.704 MPa y 1491.296 MPa, serán utilizables.
Problema 7
El Director de una fabrica de muebles desea estimar el tiempo promedio que toma perforar tres agujeros en una placa metálica que se utiliza en la construcción de bases para mesas metálicas. El desea tener una confianza del 95 % para que la media muestral este dentro de \(5\) segundos de la media real, suponiendo que \(σ=40\) , obtenida en estudios anteriores. Una de las firmas contactadas para la realización del estudio indica que para esas condiciones, deberá realizar \(175\) mediciones. El Director le pide que revise la información suministrada y le de su concepto.
Para este caso utilizaremos la ecuación 7.
El tamaño de la muestra debe ser: 245.8534Lo que propone la firma contratada está bastante por debajo del valor
de las muestras necesarias, pues no deberías haber \(175\) mediciones sino \(246\) a lo menos.
Problema 8
El área de elementos físicos de la universidad lo ha encomendado estimar la altura promedio de los estudiantes con el fin de realizar un pedido de mesas y sillas para los nuevos espacios que tendrá la universidad. Quieres estar seguro al 98 % de que tu estimación esté dentro de \(±2\) centímetros del valor real. ¿Que tamaño debe tener la muestra para cumplir con los requerimientos establecidos?
Para obtener la información que necesitamos, debemos hacer una prueba
piloto o buscar en la literatura la desviación estándar de personas
entre 16 y 26 años, una vez se obtenga esa información, se puede
utilizar la ecuación 7. Por hacer una aproximación diremos que tenemos
desviación estándar de \(8\)
El tamaño de la muestra debe ser: 86.59031Problema 9
El gerente de un restaurante deseas determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de clientes satisfechos con un nivel de confianza del 95 % y un error máximo permitido del 5 %. Para ello, ha realizado una prueba piloto de un nuevo menú para medir la satisfacción de los clientes. En la prueba piloto, encuestaste a 100 clientes y descubriste que el 75 de ellos estaban satisfechos con la comida. ¿Qué tamaño de muestra deberá tener el estudio?
Para este caso tomaremos la ecuación número 8.
El tamaño de la muestra debe ser: 288.1094Los calculos nos indican que la muestra que debemos tomar es de 289 mediciones.
Problema 10
El gerente de un centro de atención al cliente y deseas estimar el tiempo promedio que tardan los agentes en responder a las llamadas de los clientes. Quieres tener un nivel de confianza del 95 % en que tu estimación se encuentra dentro de ±5 segundos del valor real. Para lograrlo, necesitas calcular el tamaño de muestra requerido para este propósito.
Para obtener la información que necesitamos, debemos hacer una prueba
piloto o puede ser sobre los datos hitóricos de las llamadas, se
analizan algunos y se encuentra la desviación estándar de los tiempos en
las llamadas, una vez se obtenga esa información, se puede utilizar la
ecuación 7. Por hacer una aproximación diremos que tenemos desviación
estándar de \(30\) segundos.
El tamaño de la muestra debe ser: 138.2925Problema 11
Una empresa dedicada a la realización de encuestas políticas, deseas estimar la proporción de votantes que apoyan a un candidato específico en las proximas elecciones a gobernación del Valle del Cauca. No tienes información previa sobre el nivel de apoyo, por lo que deseas determinar el tamaño de muestra necesario para estimar esta proporción con un nivel de confianza del 90 % y un margen de error máximo del 2 %. ¿Qué tamaño de muestra deberá tener el estudio?
Para este caso utilizaremos la ecuación 8 con la varianza máxima.
El tamaño de la muestra debe ser: 1690.965Con varianza máxima se nos indica que se debe tomar una muestra de
1691 votantes.
Problema 12
Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los metodos de estimación bootstrap. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:
El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: \(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24\) y \(4.45\). Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media \(µ\) de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1 . Despues de anotado el valor se regresa X∗1 , a la caja y se extrae el valor X∗2 , regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n , X∗1,X∗2,X∗3,⋯,X∗n , conformando la muestra bootstrap. Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k=1000 ). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X¯∗ .
Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga n=1000 ). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X¯∗i , obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentil P2.5 y P97.5 . Existen dos métodos para estimar el intervalo:
(P2.5;P97.5)
(2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)
Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos.