Item 1 ( Método dos Momentos )

Conceito

Seja \(X_1, X_2, \cdots,X_n\) uma amostra aleatória simples de uma v.a. \(X\) que possui distribuição com densidade \(f_X(\;\cdot,\theta)=\theta c^{\theta}/x^{\theta+1}\), em que \(\theta=(\theta_1,\theta_2,\cdots, \theta_k)\) é o vetor de parâmetros populacionais (a ser estimado). Definimos o \(r\)-ésimo momento populacional por \[ \mu_r := E[X^r], \quad r \in \{1,2,\cdots, k\}, \]

e o \(r\)-ésimo momento amostral por \[ m_r:=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}^{r},, \quad r \in \{1,2,\cdots, k\}. \]

O estimador de momentos para o paramêtro \(\theta\) é obtido ao resolver o sistema com as \(k\) equações \[ \mu_r = m_r, \quad r \in \{1,2,\cdots, k\}, \] ou seja, matematicamente, o estimador de momentos é solução do seguinte sistema com \(k\) equações

\[ \mu_r\bigg|_{(\hat{\theta_1}, \hat{\theta_2}, \cdots, \hat{\theta_k})} = \;\;m_r, \quad r \in \{1,2,\cdots, k\}. \]

Aplicação

Apliquemos ao nosso caso. Desejamos estimar o parâmetro \(\theta\). Para tanto, encontremos o primeiro momento populacional

\[ \begin{align} EX &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} xf_X(x,\theta) \;dx\\ &= \int\limits_{c}^{\infty} x \;\theta c^{\theta} \frac{1}{x^{\theta+1}} dx\\ &=\theta c^{\theta}\int\limits_{c}^{\infty} x^{-\theta} dx\\ &=\frac{\theta c^{\theta}}{-\theta+1} x^{-\theta+1}\bigg|_{x \to c}^{x \to \infty}\\ &=\frac{\theta c}{\theta-1}, \hspace{3cm} \because \qquad \theta>2 \implies -\theta+1 < -1. \end{align} \]

Logo, \[ \begin{align} \frac{\hat{\theta} c}{\hat{\theta}-1}= \overline{X} &\iff (\hat{\theta}-1)\overline{X}=c \;\hat{\theta}\\ & \iff \overline{X} = \hat{\theta}(\overline{X}-c)\\ & \iff \hat{\theta} = \frac{\overline{X}}{\overline{X}-c}. \end{align} \]

Item 2 ( Critério da Máxima Verossimilhança )

Propriedades do Critério

1) Produz estimadores assintoticamente não viesado e ótimos em relação ao Erro Quadrático Médio.

2) Produz estimadores que baseiam-se em estatísticas suficientes.

3) Satisfaz o princípio da invariância.

4) Preserva a unicidade dos estimadores.

Estimador MV ( 1º Modo )

Seja \(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) uma amostra obtida da distribuição, com \(f_{X}(x,\theta)=\theta c^{\theta+1}/x^{\theta+1},\; x>c\), num processo de amostragem aleatória simples (AAS). Logo, \[ \begin{align} L(x;\theta) &= \prod_{i=1}^{n}f_X(x_i,\theta)\\ &=\prod_{i=1}^{n} \bigg(\theta c^{\theta}\frac{1}{x_i^{\theta+1}}\bigg)\\ &=\theta^n c^{n\theta}\bigg(\prod_{i=1}^{n}x_i\bigg)^{-(\theta +1)}. \end{align} \]

Como a função \(log\) é monótona crescente, então os valores de \(\theta\) que maximam \(L(x;\cdot)\) e \(log\big(L(x;\cdot)\big)\) são os mesmos. Com isso, tomemos o \(log\) da função de verossimilhança:

\[ \begin{align} l(\theta)=log\big(L(x;\theta)\big)&=log\bigg(\theta^n c^{n\theta}\bigg(\prod_{i=1}^{n}x_i\bigg)^{-(\theta +1)}\bigg)\\ &=n\;log(\theta) + n\theta \;log(c) -(\theta+1) \sum\limits_{i=1}^{n}log(x_i). \end{align} \]

Derivando a funcão \(l(\cdot)\) em relação a \(\theta\), obtemos \[ \begin{align} \frac{d}{d\theta} l(\theta)=\frac{n}{\theta} + n\;log(c) -\sum\limits_{i=1}^{n}log(x_i). \end{align} \]

Como \(\frac{d^2}{d\theta^2}l(\theta)=-\frac{n}{\theta^2}<0\), a estimativa de máxima verossimilhança \(\hat{\theta}\) satisfaz a seguinte equação \[ \frac{d}{d\theta} l(\theta)=0. \]

Logo, \[ \begin{align} \frac{n}{\hat{\theta}}+n\;log(c) - \sum\limits_{i=1}^{n}log(x_i)=0 &\iff \frac{n}{\hat{\theta}} = \sum\limits_{i=1}^{n}log(x_i) - n\;log(c)\\ &\iff \hat{\theta} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}log(x_i) - n\;log(c)}\\ &\iff \hat{\theta} = \frac{1}{\overline{log(x)} - log(c)} \end{align} \]

Portanto, o estimador de máxima verossimilhança de \(\theta\) é

\[ \hat{\Theta} = \frac{1}{\overline{log(X)} - log(c)}, \] em que \(X=(X_1,X_2,\cdot,X_n)\) é amostra aleatória simples proveniente da distribuição com densidade mencionada.

Estimador MV ( 2º Modo )

Utilize a transformação \(Y=log(X/c)\). Pela fórmula do Jacobiano, caso simples (Reais – Reais), obterá densidade da exponencial. Considerando esta, encontre o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro \(\theta\) (fácil de encontrar) e use o príncipio da invariância, caso necessário, para finalizar. (Façam)

Implementação Computacional

## Parametro (populacional)

theta <- 3 # parametro a ser estimado
c <- 6

## Geracao de amostra via Inversa Generalizada da FD.

u <- runif(1e8)
x <- c/(1-u)^(1/theta)
n <- length(x)
 
## Estimacoes do parametro theta

theta.est_MM <- mean(x) / ( mean(x) - c )

theta.est_MV_1 <- 1 / ( mean(log(x)) - log(c) )

list("Est. por Momentos"=theta.est_MM, "Est. por Max Vero"=theta.est_MV_1)
## $`Est. por Momentos`
## [1] 2.999903
## 
## $`Est. por Max Vero`
## [1] 2.999778